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第九章 广义相对论，
1911—1915
1911—1915
光与引力
在1905年提出狭义相对论之后，爱因斯坦认识到它至少在两个意义上是不完备的。首先，规定任何物理相互作用的传播速度都不能超过光速，这与牛顿的引力理论相冲突，后者认为引力在远距离物体之间瞬时发生作用。其次，狭义相对论只适用于匀速运动。在接下来的十年里，爱因斯坦既希望提出一种新的引力场理论，又试图把相对论推广到加速运动。[502]
1907年年底，在为一家科学年鉴撰写论文时，他终于在概念上第一次有了重大进展。我们在前面章节曾经说过，他做了一个关于自由落体的观察者如何感觉的思想实验，由此得出了这样一个原理，即加速运动和处于引力场之中在局域效应上是无法区分的。[503]一个人在密封舱中感到脚被地板支撑着，他无法判断这是由于密封舱正在外层空间向上加速，还是因为密封舱静止于引力场中。无论是哪种情形，倘若这时他从口袋里掏出一分钱，然后松开手，这枚硬币都会以完全相同的方式落到地板上。类似地，一个在密封舱中飘浮的人也弄不清楚，此时密封舱正在自由下落，还是正悬浮于没有引力的外层空间。[504]
为此，爱因斯坦提出了所谓的“等效原理”，以帮助他寻找一种引力理论和推广相对论。“我认识到，除了匀速运动的参照系，我将能够把相对性原理拓展和推广到加速系统，”他后来解释说，“我希望在这样做的同时能够解决引力问题。”
正因为惯性质量等于引力质量，所有惯性效应（比如对加速的反抗）与引力效应（比如重量）之间才存在着某种等效。爱因斯坦洞察到，它们是同一种结构的两种表现，这种结构我们现在有时称为惯性-引力场（inertio-gravitational field）。[505]
正如爱因斯坦所指出的，这种等效的一个后果便是，引力会使光线弯曲。我们很容易用密封舱的思想实验来说明这一点。想象此时密封舱正在加速向上运动，一束光通过墙上的一个洞射进来。当这束光到达对面墙壁的时候，它已经离地板近了一些，因为在这段时间里密封舱已经向上移动了一段距离。如果画出光通过密封舱的路径，那么它将因密封舱的向上加速而是弯曲的。等效原理说，不论密封舱是加速向上还是静止于引力场中，这一效应都是相同的。因此，光线在通过引力场时会发生弯曲。
在提出这一原理后的四年时间里，爱因斯坦没有再怎么管它，而是转而思考光量子和辐射问题。然而在1911年，他对贝索说，量子问题的困扰已经使他疲惫不堪，他要重新开始思考如何用一种引力场理论来推广相对论。这项任务又将花费他大约四年时间，直到1915年11月的灵感迸发而达到最高峰。
1911年6月，他寄给《物理学纪事》一篇论文一《论引力对光的传播的影响》。在这篇论文中，他对1907年以来的思想给予了严格的表述。“在我四年前发表的一篇论文里，我曾试图回答这样一个问题：引力是否会影响光的传播，”他开门见山地说，“我现在发现，我以前论述的最重要的结果之一可以在实验上加以检验。”经过一系列计算，爱因斯坦预言了光通过太阳附近的引力场时发生的现象：“光线经过太阳附近时将会发生0.83弧秒的偏折。”[506]
这一次，他同样是由基本原理和假设演绎出理论，然后推出某些预言供实验家检验。和往常一样，他在文章的结尾呼吁做这样的检验。“由于日全食期间可以看到太阳附近的恒星，因此可以对理论结果进行观测。但愿天文学家能够着手考虑这一问题，那将是相当值得的。”[507]
埃尔温·弗伦德里希是柏林大学天文台的一位年轻天文学家。他读到了这篇论文，很有兴趣做这一检验。然而，实验只有在日食期间才能做，因为那时才能观测到途经太阳附近的星光，而未来三年内不会出现合适的日食。
于是弗伦德里希提出，可以测量木星引力场所造成的星光偏折。可惜，对于这项任务来说，木星的质量还不够大。“要是有一颗比木星大得多的行星该多好！”爱因斯坦那年夏末对弗伦德里希开玩笑说，“然而大自然并不认为让我们能够轻易发现它的规律是分内之事。”[508]
光线可能会弯曲，这种理论引出了一些有趣的问题。日常经验表明，光总是沿直线传播。木匠现在会用激光水平尺来画直线，建造房屋。倘若光线通过变化的引力场时会发生弯曲，那么直线应当如何确定呢？
一种解决方案是，把通过变化引力场的光线的路径类比于球面或曲面上的线。对于球面或曲面来说，两点之间最短的线是弯曲的，比如作为地球测地线的大弧或大圆。也许光线弯曲意味着，引力使光线通过的空间结构发生了弯曲。被引力弯曲的空间区域中的最短路径或许迥异于欧几里得几何学中的直线。
还有一种解决方案是，需要一种新的几何学。爱因斯坦在思考旋转圆盘时想到了这一点。在不随同圆盘旋转的观察者看来，当圆盘旋转时，其圆周会沿着运动方向收缩，而直径却不会发生任何收缩。于是，圆盘的周长与直径之比不再是π，欧几里得几何学并不适用于这种情形。
旋转运动是一种加速运动，因为边缘上的点每时每刻都在发生变化，这意味着它的速度（包括速率和方向两个方面）在发生变化。这种加速需要用非欧几何来描述，所以根据等效原理，引力也需要用非欧几何来描述。[509]
不幸的是，非欧几何并非爱因斯坦的强项，这一点早在苏黎世联邦工学院时期就已经显示出来。但幸运的是，他在苏黎世还有一位同窗老友可以求助。
数学
1912年7月，爱因斯坦从布拉格搬回苏黎世后，最先做的事情之一就是拜访他的朋友格罗斯曼。他在苏黎世联邦工学院逃数学课时，格罗斯曼曾帮他记笔记。那时，爱因斯坦的两门几何课都是4.25分，而格罗斯曼都得了满分6分。格罗斯曼的博士论文是关于非欧几何的，还发表过相关的七篇论文。他现在是数学系主任。[510]
“格罗斯曼，你一定要帮帮我，否则我会发疯的。”爱因斯坦说。他解释说，他需要一个数学系统来表示（甚至是帮他发现）支配引力场的定律。“他立即产生了极大兴趣。”爱因斯坦后来这样回忆格罗斯曼当时的反应。[511]
直到那时，爱因斯坦的科学成功一直得益于他在揭示大自然背后物理原理方面的惊人能力。他总是让别人去寻找关于这些原理的最佳数学表述，比如他的苏黎世同事闵可夫斯基在狭义相对论方面做的就是这种工作。
然而到了1912年，爱因斯坦开始认识到，数学也许是发现一而不仅仅是描述一自然定律的一种工具。数学是大自然的剧本。“广义相对论的核心思想就是，引力源于时空弯曲，”物理学家詹姆斯·哈特尔说，“引力就是几何。”[512]
“我正在一门心思研究引力问题，我相信，在这里一位数学家朋友的帮助下，我能够克服所有困难，”爱因斯坦写信给物理学家索默菲，“对于数学，我产生了极大的敬意，在此之前我一直愚蠢地认为，数学中更为奥妙的部分纯粹是一种奢侈！”[513]
格罗斯曼开始思考这个问题。在查阅了相关文献之后，他建议爱因斯坦关注伯恩哈特·黎曼曾经提出的非欧几何。[514]
黎曼（1826—1866）是一位少年天才，14岁时就发明了一种万年历，后来到了世界的数学中心——德国的哥廷根大学，在高斯的指导下进行研究。作为曲面几何的开拓者，高斯为黎曼指定了这一论文题目。事实证明，这不仅将改变几何学的面貌，而且将使物理学发生变革。
欧氏几何可以描述平直表面，但对于弯曲表面并不适用。例如，平面三角形的内角和等于180°。但如果在地球仪上作一个三角形，以赤道为底，从赤道通过伦敦到达北极的经线（经度0°）为一边，从赤道通过新奥尔良到达北极的经线（经度90°）为第三边，那么你将看到，这个三角形的所有内角都是直角，而这在欧几里得的平直世界中显然是不可能的。
高斯等人发展出了不同类型的几何学，以描述球面或其他曲面。黎曼则走得更远，他提出了一种描述表面的万能方法，不论该表面的几何如何变化，哪怕它从球面变到平面再变到双曲面，都可以运用这种方法。他不仅探讨了二维表面的曲率，还在高斯著作的基础上，探讨了描述三维甚至四维空间曲率的各种数学方式。
这真是一种富有挑战性的概念。我们可以设想一条曲线或一个曲面，但很难想象弯曲的三维空间是什么样子，更不要说弯曲的四维空间了。然而，数学家却很容易把曲率概念拓展到不同维度，至少它在数学上是可行的。这涉及所谓的度规概念，它规定了如何计算空间中两点之间的距离。
在只有x坐标和y坐标的正常平面上，任何高中生在老毕达哥拉斯的帮助下都可以计算出两点间的距离。但在一张用来表示弯曲球面上各个位置的平面地图（比如世界地图）上，距离在极点附近被拉长，测量变得更加复杂。计算格陵兰岛上两点的间距不同于计算赤道附近两点的间距。黎曼找到了确定空间中两点之间距离的数学方法，无论它如何弯曲或扭曲。[515]
为此，他运用了张量这种数学概念。在欧氏几何中，矢量是既有大小又有方向的量，比如速度或力，它需要用一个以上的数来描述。而在非欧几何中，空间是弯曲的，我们需要有某种更一般的东西才能在数学上包含更多的成分，这就是所谓的张量。
利用度规张量这种数学工具，我们能够计算出给定空间中两点之间的距离。对于二维地图，度规张量有3个分量。对于三维空间，度规张量有6个独立分量。而对于所谓的四维时空，度规张量则有10个独立分量。[516]
黎曼为提出这种度规张量概念做出了贡献。它通常写作gμv有16个分量（其中10个是独立的），可以用来定义和描述弯曲的四维时空中的距离。[517]
黎曼张量，以及爱因斯坦和格罗斯曼从意大利数学家里奇和莱维-契维塔的著作中了解到的其他张量的关键用处是，它们都是广义协变的。当爱因斯坦试图推广相对论时，这对他来说是一个重要概念。它意味着，不论时空坐标系如何变化或旋转，其各个分量的关系仍然保持不变。换句话说，虽然编入这些张量中的信息可以因参照系的改变而发生变化，但支配其各个分量之间关系的基本定律却不会改变。[518]
在探索广义相对论的过程中，爱因斯坦的目标是要找到描述两种互补过程的数学方程：
1.引力场如何作用于物质，规定物质如何运动。
2.反过来，物质如何产生时空中的引力场，规定时空如何弯曲。
他认识到，引力可以定义成时空的弯曲，从而可以通过一个度规张量来表示。为此，他将在三年多的时间里努力寻找正确的方程。[519]
数年之后，小儿子爱德华问他为什么如此著名，爱因斯坦用一个形象的比喻来解释他的伟大发现，即引力是时空结构的弯曲。“一只瞎眼的甲虫在弯曲的树枝表面爬行，它没有发现它爬过的路径是弯的，”他说，“但我幸运地注意到了甲虫没有注意到的东西。”[520]
苏黎世笔记本，1912年
从1912年夏天开始，爱因斯坦试图沿着黎曼、里奇等人提供的思路用张量来研究引力场方程。他最初的努力都记在一个便条簿中。多年来，雷恩、诺顿、绍尔、扬森和斯塔契尔等学者已经对这一极有启发性的“苏黎世笔记本”进行了细致入微的研究，使我们得以窥见他的思想发展。[521]
在其中，爱因斯坦沿两个方向进行了探索。一方面是“物理方案”，即根据物理学直觉提出要求，并由此找到正确的方程；另一方面是“数学方案”，即运用格罗斯曼等人建议的张量分析方法，试图根据更加形式化的数学要求导出正确的方程。
爱因斯坦的“物理方案”始于对相对性原理的推广，即试图使相对性原理适用于正在加速运动的观察者。任何引力场方程都必须满足如下物理要求：
·在静态弱引力场的情况下，必须转化为牛顿理论。换句话说，在正常条件下，他的理论应该能够描述我们所熟悉的牛顿的引力和运动定律。
·它应当维持经典物理学的定律，特别是能量和动量守恒定律。
·它应当满足等效原理，即匀加速运动的观察者的观察应当等效于均匀引力场中的观察者的观察。
爱因斯坦的“数学方案”则试图用关于度规张量的数学知识找到一个广义协变的引力场方程。
爱因斯坦双管齐下，一方面考察由物理要求所得出的方程，检验其协变性：另一方面考察由美妙的数学表达式导出的方程，看它们是否满足物理要求。“在这个笔记本中，他一直都试图从两个进路解决问题，时而写出由牛顿极限和能量动量守恒等物理要求所预示的表达式，时而写出由里奇和莱维-契维塔的广义协变量所预示的表达式。”诺顿说。[522]
但令人失望的是，这两组要求并不匹配，至少爱因斯坦是这样认为的。他无法使一种方案的结果满足另一种方案的要求。
运用数学方案，他导出了一些非常美妙的方程。在格罗斯曼建议下，他开始使用黎曼张量以及更加适合的里奇张量。到了1912年年底，他设计出了一个场方程，这与1915年11月底最终提出的场方程相当接近。换句话说，他在苏黎世笔记本中提出了近乎正确的解答。[523]
但随后他放弃了这个方程，而且一放就是两年多。为什么会这样？一个原因是，他（不太正确地）认为，这一解答在静态弱场的情况下没有还原为牛顿定律，也不满足能量动量守恒的要求。
如果通过引入坐标条件，使方程满足其中一种要求，那么又无法满足另一种要求的条件。[524]
结果，爱因斯坦抛弃了数学方案，这一决定后来使他追悔莫及。事实上，最终使他大获成功的正是数学方案。从那以后，他将一直强调数学形式主义的优点，无论在科学上还是在哲学上。[525]
《纲要》和牛顿的水桶，1913年
1913年5月，在抛弃了由数学方案导出的方程之后，爱因斯坦和格罗斯曼又基于物理方案提出了一种概要性的理论。其方程应当能够满足能量动量守恒的要求，并且在静态弱场的情况下能够与牛顿定律相容。
虽然这些方程的协变性似乎还不够，但爱因斯坦和格罗斯曼认为这是他们目前所能做到的极致了。从文章的标题就可以看出其尝试性：《广义相对论和引力理论纲要》，这就是后来所谓的《纲要》（Entzuurf）一文。[526]
写出《纲要》之后，爱因斯坦既深感幸福又疲惫不堪。“几个星期以前，我终于把问题解决了，”他写信给爱尔莎说，“它大胆拓展了相对论和引力理论。现在我必须稍事休息，否则会垮掉的。”[527]
然而没过多久，他就开始质疑这项工作。他越是反思，就越认识到《纲要》的方程并不满足广义协变的目标。换句话说，也许并不能总是以同一种方式将方程运用于各种加速运动。
1913年6月，他与来访的老友贝索一起研究《纲要》理论，当时他并未建立起对该理论的信心。他们进行了深入研究，做了50多页的笔记，分析了《纲要》如何与关于水星轨道的一些古怪事实相一致。[528]
自19世纪40年代以来，科学家们一直耿耿于怀于水星轨道的一种微小移动得不到解释。近日点是行星橢圆轨道上距离太阳最近的点。人们注意到，水星近日点的移动，即大约每世纪43弧秒，要比牛顿定律的预言略大一些。起初人们以为，这是由于某颗尚未发现的行星在牵引着它，类似于较早前海王星的发现过程。发现水星反常的那位法国人甚至计算了这颗未知行星的可能位置，并把它命名为“火神星”。但事实上，它并不在那里。
爱因斯坦希望新的引力场方程能够解释水星的轨道。不幸的是，经过大量计算和修正，他和贝索得出的水星近日点运动的值是每世纪18弧秒，这个值甚至还不到正确值的一半。由于结果不理想，爱因斯坦决定暂不发表这些计算，但却并没有抛弃《纲要》理论，至少当时还没有。
根据《纲要》理论方程，爱因斯坦和贝索也探讨了旋转运动是否可以看成某种相对运动。换句话说，想象一个观察者正在旋转，并体验到惯性，这是否可能是另一种情形的相对运动，它与观察者静止、宇宙的其余部分围绕他旋转的情形不可区分？
牛顿在其《自然哲学的数学原理》的第三卷描述了这方面最著名的思想实验。想象一个水桶吊在一根绳子上开始旋转。起初，桶中的水几乎静止，水面是平的，但是不久，桶壁的摩擦使水和桶一起旋转，水面呈凹形。为什么？因为惯性使旋转的水向外推压，从而冲上桶壁。
的确如此。但如果我们怀疑一切运动都是相对的，那么我们会问：水正相对于什么旋转呢？不是桶，因为水在和桶一起旋转时呈凹形，而且当水桶停止后，水仍然会在里面旋转一段时间。也许水正相对于邻近的物体旋转，比如施予引力的地球。
但是想象水桶在没有引力、没有参照点的宇宙空间中旋转，或者想象它正在一个空荡荡的宇宙中旋转，那么是否仍然存在惯性？牛顿相信仍然存在，因为他认为水桶正在相对于绝对空间旋转。
19世纪中叶，爱因斯坦早年崇拜的马赫批判了这种绝对空间的概念。他认为，惯性之所以存在，是因为水正相对于宇宙中其余的物质旋转。他说，倘若水桶静止不动，宇宙的其余部分围绕它旋转，也能观察到同样的效应。[529]
爱因斯坦希望，广义相对论能够将所谓的“马赫原理”当成一个检验标准。令他喜出望外的是，通过对《纲要》理论中的方程进行分析，他的结论是，它们似乎的确预言了，不论是水桶旋转，还是水桶静止而宇宙的其余部分围绕它旋转，效应都是一样的。
爱因斯坦大概就是这样想的。他和贝索做了一系列巧妙的计算，以检验情况是否真的如此。爱因斯坦高兴地称，这一胜利在望的计算结果“是正确的”。
不幸的是，他和贝索在这项工作中犯了一些错误。爱因斯坦两年后终于发现了它们，并且认识到《纲要》实际上并不满足马赫原理。贝索很可能提醒过他。在一份可能写于1913年8月的备忘录中，贝索说，“旋转度规”实际上并非《纲要》中的场方程所允许的解。
但在给贝索、马赫等人的信中，爱因斯坦当时并没有理会这种怀疑。[530]如果实验支持这种理论，“那么您在力学基础方面的卓越研究将得到很好的证实，”爱因斯坦在《纲要》发表后写信给马赫说，“因为它表明惯性源自物体之间的某种相互作用，恰恰符合您关于牛顿水桶实验所做的论证。”[531]
关于《纲要》，最令爱因斯坦忧虑的是，它的数学方程并不是广义协变的，从而无法保证自然定律对于加速运动的观察者和以恒定速度运动的观察者是一样的。“遗憾的是，此事仍然非常棘手，导致我对这一理论的信心不是很足，”他在回复洛伦兹的贺信时写道，“不幸引力方程本身并不具有广义协变性。”[532]
他很快便意识到这是不可避免的。这部分是通过一个思想实验做到的，它后来被称为“空穴论证”[533]。这个论证似乎暗示，引力场方程不可能实现广义协变。“引力方程并不是广义协变的，这在长时间里一直困扰着我，现已证明是不可避免的，”他给一位朋友写信说，“如果场在数学上完全由物质所决定，那么就很容易证明，带有广义协变方程的理论不可能存在。”[534]
在当时，很少有物理学家支持爱因斯坦的新理论，许多人甚至公开指责它。[535]但爱因斯坦依然满心欢喜，他对朋友仓格尔说，人们至少已经在相对性问题上“倾注了必要的精力。我喜爱争论，用费加罗的话说‘我尊贵的伯爵敢于跳舞吗？他应该告诉我！我将为他定调’”。[536]
在这一过程中，爱因斯坦始终试图挽救他的《纲要》。他想方设法获取足够的协变性，以满足关于引力和加速的等效原理的大部分方面。“我成功证明了引力方程对于任意运动的参照系仍然成立，因此关于加速与引力场等效的假说是绝对正确的，”他1914年年初写信给仓格尔说，“大自然只把狮子的尾巴显露给了我们。但我确信无疑，狮子是个庞然大物，尚不能立即全部显露在我们眼前。我们见到的就像叮在狮子身上的虱子所见到的一样。”[537]
弗伦德里希和1914年日食
爱因斯坦知道，有一种办法可以消除疑虑。他经常在论文结尾提出一些实验建议以证实他的观点。至于广义相对论，他1911年就已经给出了太阳引力使星光偏折的估计值。
他提出，这可以通过对星体进行摄影来测量，我们只需确定星光掠过太阳时星体的位置与星光不被太阳偏折时所对应的星体位置是否存在微小的偏移。但这个实验只有在日食期间星光可见时才能进行。
他的理论引发了同行们的激烈批评，他本人也有一定怀疑。因此，当爱因斯坦听说，1914年8月21日将会发生下一次日全食时，他对此抱以极大热情。届时需要一支远征队奔赴俄国的克里米亚观察日食。
爱因斯坦热切盼望他的理论能够在日食期间得到检验，以至于当这支远征队面临经费不足的困境时，他甘愿亲自承担一部分费用。埃尔温·弗伦德里希是一位年轻的柏林天文学家，他曾经读过爱因斯坦1911年论文中对光线偏折的预言，很愿意能够牵头证明这个结论。爱因斯坦在1912年年初写信给他说：“您对光线弯曲问题的研究如此热心，我感到十分高兴。”1913年8月，爱因斯坦仍然在想方设法鼓动天文学家。“在这里，理论家们已经爱莫能助，”他写道，“明年，只有你们天文学家能够为理论物理学做出极其宝贵的贡献。”[538]
1913年8月，新婚燕尔的弗伦德里希决定在苏黎世附近山区度蜜月，他希望能够见到爱因斯坦。这一愿望没有落空。弗伦德里希在一封信中谈了他在蜜月期间的安排，爱因斯坦知道后便邀请他来访问。“这真是妙极了，因为它很符合我们的计划。”弗伦德里希写信给未婚妻说。至于后者对蜜月期间将与一位从未谋面的理论物理学家一同度过有何反应，我们则无从知晓。
当这对新婚夫妇到达苏黎世火车站时，弗伦德里希的妻子回忆说，头发凌乱的爱因斯坦戴着一顶大草帽，身旁站着体态臃肿的化学家哈伯。爱因斯坦把他们带到附近的一个镇上，并在那里做了一场讲演，然后共进午餐。毫不奇怪，他忘了带钱，还是一位助手从桌下偷偷递给他一张100法郎的钞票，算是解了燃眉之急。弗伦德里希那天一直都在与爱因斯坦讨论引力和光的弯曲问题，甚至在野外散步时也在聚精会神地讨论，弗伦德里希的新婚妻子只得在一旁独自欣赏静谧的景色。[539]
在当天关于广义相对论的讲演中，爱因斯坦向听众介绍弗伦德里希，称他“将在明年检验理论”。然而，资金是个问题。当时，普朗克等人正试图游说爱因斯坦从苏黎世搬到柏林担任普鲁士科学院院士，爱因斯坦则趁此机会给普朗克写信，敦促他为弗伦德里希提供资金完成这项任务。
事实上，就在1913年12月7日，即爱因斯坦正式接受柏林的职位并当选院士那天，他还写信给弗伦德里希提议他将自掏腰包。“如果科学院准许，我就准备向私人筹集经费，”爱因斯坦说，“如果各种办法都失败了，那么我将从我的少量积蓄中取出钱来支付，至少先付出第一笔2000马克。”爱因斯坦强调，主要的事情是弗伦德里希应当继续准备。“只管预备底片吧，不要因为钱的问题而浪费时间。”[540]
后来证明，有足够的私人捐款（主要来自克虏伯基金会）使这次远征成为可能。“您事业上的外部困难现在或多或少得到了克服，您可以想象，我是多么快乐。”爱因斯坦写道。他对未来的发现充满信心。“我从每一个角度对理论做了考虑，对这个理论我充满信心。”[541]
7月19日，弗伦德里希和两位同事离开柏林前往克里米亚，在那里又有一个阿根廷科尔多瓦天文台的小组加入进来。如果一切顺利，他们将有2分钟时间用来拍照，以分析星光是否因太阳引力而偏折。
但事情进展并不顺利。在日食前20天，欧洲卷入了第一次世界大战，德国向俄国宣战。弗伦德里希及其德国同事被俄军俘虏，他们的装备也被没收。这些强大的照相机和定位设备自然无法使俄军相信，他们仅仅是一些天文学家，打算观察星星以更好地理解宇宙的秘密。
即使他们的安全得到了保障，观测也很有可能会失败，因为日食期间天空阴云密布。当时一个美国小组就在当地，他们也无法得到任何有用的照片。[542]
虽然任务被迫终止，但事情还有一线希望。爱因斯坦的《纲要》方程并不正确。根据爱因斯坦当时的理论，引力使光的偏折与牛顿光发射理论的预言相一致。但正如爱因斯坦一年后发现的，正确的预言应当是它的两倍。倘若1914年弗伦德里希取得了成功，爱因斯坦的理论反倒可能被证伪了。
“我那位优秀的天文学家弗伦德里希，非但没有在俄国观测到-食，现在倒要在那里遭受牢狱之苦，”爱因斯坦给埃伦菲斯特写信说，“我为他感到担忧。”[543]不过，担忧是没有必要的。几周以后，这位年轻的天文学家就在一次犯人交换中被释放。
然而，1914年8月，还有别的理由使爱因斯坦忧心忡忡。他的婚姻刚刚破裂。伟大理论仍然需要推进。他从小就厌恶的民族主义和军国主义正在把他的祖国拖入一场战争，他也因此成为陌生土地上的一个陌生人。事实证明，对他来说德国是一个危险的地方。
第一次世界大战
将欧洲拖入1914年8月战争的链式反应激发了普鲁士人的爱国热情，也沿相反方向唤起了爱因斯坦内心深处的和平主义及其不服从的本能。他是如此温文友善，厌恶冲突，就连下棋都不喜欢。“疯狂的欧洲现在开始了难以置信的闹剧，”他当月写信给埃伦菲斯特说，“此时人们看得出来，人究竟属于哪一类可悲的畜生。”[544]
自从学生时代离开德国，在阿劳受到温特勒国际主义的一定影响之后，爱因斯坦的情感已经使他倾向于和平主义、世界联邦制和社会主义。但他一般不会公开进行活动。
第一次世界大战改变了这一切。爱因斯坦永远都没有放弃物理学，但从此以后他将一直坚定地宣扬其政治社会理念。
战争的非理性使爱因斯坦相信，科学家实际上有一种特殊的责任来参与公共事务。“我们这些科学家必须培养一种国际主义，”他说，“不幸的是，甚至在科学家中间，我们也不得不在这方面失望至极。”[545]他特别惊诧于他的三位亲密同事，即游说他到柏林的科学家——哈伯、能斯特和普朗克，都不约而同地成了主战派。[546]
化学家哈伯是个秃顶，个子不高，衣冠楚楚。他虽然是犹太人，却竭力使自己同化。他改变了信仰，受了洗，衣着举止都发生了改变，甚至还戴上了一副普鲁士人的夹鼻眼镜。他担任着化学研究所所长的职务，爱因斯坦在所里有自己的办公室。欧洲的大战爆发时，他一直在爱因斯坦与米列娃之间进行斡旋。虽然他希望担任军官，但由于是犹太裔学者，他不得不成为一名军士。[547]
哈伯将他的研究所进行了重组，从而为德国研制化学武器。他发现了由氮合成氨的方法，这使德国能够大规模生产炸药。接着他转而研制致命的氯气。氯气比空气重，可以飘入战壕，使士兵们痛苦地窒息，灼伤他们的喉咙和肺。1915年4月，现代化学战诞生了。哈伯亲自督战，大约5000名法国人和比利时人在伊普尔（Ypres）遭遇了噩运。（一个不大为人注意的讽刺是，诺贝尔奖是由炸药的发明人阿尔弗雷德·诺贝尔设立的，哈伯因氨的合成法获得了1918年诺贝尔化学奖。）
能斯特50岁左右，戴着眼镜，是哈伯的同事，偶尔也是其学术对手。他经常在房前练习步伐和敬礼，并让妻子检查动作是否规范。然后他驾车前往西线做志愿司机。回到柏林之后，他用催泪瓦斯以及其他可能将敌军仁慈赶出战壕的刺激物进行了实验，但将军们还是更喜欢哈伯正在研制的致命武器。因此能斯特在这件事情上是了力的。
甚至连可敬的普朗克也支持德国的所谓“正义之战”。正如他在学生们参战时所说：“德国已经拔出利剑，对准那阴险背叛的策源地。[548]
爱因斯坦没有让他与三位同事的关系因战争而破裂，1915年春天，他一直在给哈伯的儿子辅导数学。[549]但是当他们在一份捍卫德国军国主义的请愿书上签字时，爱因斯坦感到不得不在政治上与他们划清界限。
1914年10月发表的这份请愿书名为《告文明世界书》，后来在多位知识界人士签名后称为《93人宣言》。它不顾事实真相，断然否认德军曾入侵比利时，并宣称战争是必需的。“要不是因为德国军国主义，德国文化已被从地球表面抹去，”它断言，“作为一个有教养的民族，我们将把这场战斗进行到底，对这个民族来说，歌德、贝多芬和康德的遗产就像家庭和土地一样神圣。“[550]
在签名的科学家当中有因光电效应而出名的保守主义分子勒纳德，这并不奇怪。他后来成了一个狂热的反犹主义者，对爱因斯坦恨之入骨。令人悲伤的是，哈伯、能斯特和普朗克也在上面签了名。作为公民和科学家，他们都有一种自然的本能去附随其他人的情感。但爱因斯坦却往往表现出一种不合作的自然倾向，这有时使他成为更伟大的科学家和更高贵的公民。
格奥尔格·弗里德里希·尼科莱是一位冒险家和医生。他是犹太人（原名勒温施坦），极富魅力，是爱尔莎和女儿伊尔莎的朋友。他与爱因斯坦合作写了一篇和平主义的文章来回应。这篇《告欧洲人书》呼吁一种超越民族主义的文化，敦促创建欧洲统一体联盟。“他们以敌对的精神来讲话，而没有站出来为和平说话，”它在谈到《93人宣言》的签名者时这样说，“民族主义的热情不能为这种态度开脱，这种态度同这个世界上向来被称为文化的那种东西是不相称的。”
爱因斯坦告诉尼科莱，虽然普朗克是《告文明世界书》的93名签名者之一，但他或许也想加入他们的反宣言，因为他“心胸开阔，心地善良”。他还认为仓格尔也有可能签名。但是显然，两个人都不愿牵涉进来。最后，只有两个人支持爱因斯坦和尼科莱。于是他们放弃了努力，《告欧洲人书》当时也没有发表。[551]
爱因斯坦还成了一个带有和平主义色彩的自由组织的早期成员，这个组织名为“新祖国同盟”，致力于尽早实现欧洲和平，并在欧洲建立一种联邦制以避免未来的冲突。它发表了一份名为《欧洲联合国的创造》的小册子，帮助使和平主义著作流入监狱等地。到了周一晚上，爱尔莎有时会陪同爱因斯坦参加一些聚会，直到这个组织于1916年年初遭禁。[552]
法国作家罗曼·罗兰是战争期间最著名的和平主义者之一，他一直试图推进法德两国的友谊。1915年9月，爱因斯坦在日内瓦湖畔拜访了他。罗曼·罗兰在日记中写道，法语说得很吃力的爱因斯坦“对一些最严肃的话题进行了调侃”。
他们坐在旅馆的天台上聊天，周围花团锦簇，蜜蜂飞舞。爱因斯坦开玩笑说，在柏林的会议上，每一位教授都会对“为什么我们德国人在世界上遭到憎恨”而愤愤不平，然后便会“小心翼翼地避开真相”。爱因斯坦大胆地公然宣称，他认为德国已经无可救药，希望协约国能够获胜，“粉碎普鲁士和王朝的权力”。[553]
在接下来的一个月里，爱因斯坦与昔日的一位朋友，即哥廷根的著名数学家保罗·赫尔茨展开了激烈的笔战。和爱因斯坦一样，赫尔茨曾经是新祖国同盟的准会员，但是当这个组织变得有争议时，他却退出了该团体。“这种小心谨慎的态度，或者说不坚持自己权利的态度，正是造成整个政治困境的原因，”爱因斯坦斥责说，“您具有当权者深爱的德意志人身上的那种勇敢精神。”
“要是您对人的理解如同对科学的理解一样细心的话，您就不至于给我写这种侮辱人的信了。”赫尔茨回信说。这种说法很能说明问题，而且是准确的。在理解物理方程方面，爱因斯坦的确要比处理个人事务更胜一筹，他在致歉信中也这样承认。“正如您所言，我对人不像对科学那样细心地去理解，因此您必须原谅我。”他写道。[554]
11月，爱因斯坦发表了一篇三页的文章，几乎到了德国言论所能允许范围的极致（即使对一个大科学家也是如此）。在这篇名为《我对战争的看法》的文章中，他猜想存在着“一种由生物学决定的雄性特征”，它是导致战争的原因之一。当这篇文章当月被歌德联盟发表时，有几段话出于安全的考虑被删去了，比如将爱国主义攻击为潜藏着“兽性仇恨和大屠杀的道德前提”[555]
关于战争有一种雄性攻击的生物学基础，爱因斯坦在给苏黎世的朋友仓格尔的信中也曾谈到。“是什么驱使人们如此野蛮地自相残杀？”爱因斯坦问，“我想正是雄性的性特征不时导致了这些野性的爆发。”
他认为，遏制侵略的唯一方法就是建立一个有权统摄成员国的世界政府。[556]18年后，他还会重拾这个主题，与弗洛伊德就男性心理学以及世界政府的必要性进行公开通信，那时他的纯粹和平主义正处于最后的阵痛中。
家庭，1915
1915年年初，无论是从感情上讲还是从逻辑上讲，战争都使爱因斯坦与汉斯·阿尔伯特和爱德华的分离变得更加残酷。他们希望爱因斯坦能够在复活节期间到苏黎世来看他们。刚刚11岁的汉斯·阿尔伯特给他写了两封信，旨在牵动他的心弦。“我只是想：复活节时你会来这里，我们又能有爸爸了。”
在另一张明信片中，他说弟弟爱德华梦见了“爸爸在这里”。他还描述了自己数学学得有多么好。“妈妈给我布置问题；我们有一个小册子：我可以做得和你一样好。”[557]
战争使他复活节期间无法回到苏黎世，不过他回复明信片时向汉斯·阿尔伯特保证，他7月会到瑞士阿尔卑斯山徒步旅行。“夏天我会带你一个人去旅行两三个星期，”他写道，“以后每年都会这样，等泰特（爱德华）长得足够大了，他也可以同行。”
爱因斯坦很高兴儿子喜欢几何。他说，这曾经是他在同样年龄时“最喜欢的消遣”，“但那时没有任何人给我讲解，我只能从书本中学”。他想给儿子讲数学，“告诉你科学方面以及其他许多方面的美妙而有趣的事情”。但这并不总是可能的。也许可以通过写信来实现。“如果你每次写信给我时都告诉我，你已经学会了什么，那我就出一道很妙的小题目让你去解。”他给两个儿子分别寄去了一件玩具，同时不忘告诫他们要好好刷牙。“我也是这么做的，很高兴我的牙齿现在仍然很健康。”[558]
然而此时，家庭关系变得更加紧张起来。爱因斯坦和米列娃在通信中就钱的问题和假期安排争论不休。6月底，汉斯·阿尔伯特寄来了一张明信片，上面只有寥寥几行：“如果你对她这样不友好，那么我不想跟你在一起。”于是爱因斯坦取消了苏黎世的行程，转而和爱尔莎及其两个女儿到了波罗的海的休假胜地——吕根岛的塞林（Sellin）。
爱因斯坦确信，是米列娃让孩子们跟他作对。他疑心（也许是正确的）汉斯·阿尔伯特寄来的那些明信片是受了她的操控，其中有些是由于他不待在苏黎世而让他感到歉疚，有些则是粗暴地拒绝假期旅行。“我的好儿子已经与我疏远了数年，这都是因为我的妻子，她有一种报复心理，”他向仓格尔抱怨说，“小阿尔伯特寄给我的那些明信片即使不是完全由她口授，也是受了她的唆使。”
爱因斯坦请当过医学教授的仓格尔给小爱德华做做检查，他一直在受耳疾等病症的折磨。“请写信告诉我，我的小儿子到底怎么了，”他恳求说，“我特别疼爱他，他还如此可爱和天真无邪。”[559]
直到9月初，他才最终来到瑞士。虽然关系很紧张，但米列娃觉得，让他和自己以及孩子们待在一起也是应当的。毕竟，他们仍是一家人。米列娃曾经希望和解，但爱因斯坦不愿和她在一起，而是住在一家旅馆，大多数时间都与贝索、仓格尔等朋友在一。
事实表明，在瑞士的整整三个星期里，爱因斯坦只见到了儿子们两次。在一封给爱尔莎的信中，他谴责了与自己疏远的妻子：“原因在于，当母亲的害怕孩子们过于依恋我。”汉斯·阿尔伯特告诉爸爸，整个行程让他感到不舒服。[560]
爱因斯坦回到柏林之后，汉斯·阿尔伯特拜访了仓格尔。这位和蔼的医学教授与各方关系都很好，他想制订一份协议，使爱因斯坦能够看望儿子。贝索也在其中斡旋。在与米列娃商议后，贝索在一封正式信件中建议，爱因斯坦可以看望他的儿子，但不能在柏林，也不能有爱尔莎的家人在场，最好是在“一家不错的瑞士酒馆”在那里爱因斯坦和汉斯·阿尔伯特可以自由自在地、不受干扰地度过一段时间。汉斯·阿尔伯特正打算圣诞节期间拜访贝索家，他建议爱因斯坦也许可以那时候来。[561]
奔向广义相对论，1915年
1915年是爱因斯坦的多事之秋，政治纷争频仍，个人事务搅扰不断，但这些恰恰突出了爱因斯坦巨大的专注能力。在各种干扰之下，他仍然能够致力于科学，将各种工作安排得有条不紊。在此期间，他怀着极大的焦虑，向着后来他所谓的一生中最大的成就奋勇冲刺。[562]
当爱因斯坦1914年春搬到柏林时，同事们以为他会组建一个研究所，招募助手来研究物理学中最迫切的问题——量子理论的含义。但他好似一匹孤独的狼，并不希望身边有一批合作者或学生，就像普朗克那样，而是希望聚精会神地研究他关心的东西——推广相对论。[563]
所以在妻儿离开他前往苏黎世之后，爱因斯坦搬出了旧楼，在柏林市中心租了一间离爱尔莎更近的房子。屋里没有什么家具，是单身汉的庇护所，不过相当宽敞，它有七间屋子，位于一幢五层新楼的第三层。[564]
爱因斯坦的书房里有一张木制的大写字台，上面凌乱地堆放着一叠叠论文和期刊。在这样一个僻静的住所，他可以随处走动，饿了就吃，困了就睡，有了兴致就开始工作。他正在孤独地做着努力。
整个1915年的春天和夏天，爱因斯坦都在冥思苦想他的《纲要》理论，试图对它进行改进和反驳各种挑战。这时，他开始称其为“广义理论”，而不仅仅是关于相对性的“一种推广的理论”，但这并不能掩盖他一直试图避开的问题。
他称他的方程拥有空穴论证以及其他物理学限制所允许的最大协变性，但他开始怀疑这样说并不正确。他还与意大利数学家莱维-契维塔进行了一场令人精疲力竭的争论，莱维-契维塔通过张量运算指出了一些问题。另一个问题是，该理论给出的水星轨道运动结果并不正确。
不过，爱因斯坦的《纲要》理论仍然成功地（至少他在1915年夏天是这么认为的）把旋转解释为一种相对运动，即一种只能相对于其他物体的位置和运动来定义的运动。他认为，他的场方程在变换到旋转坐标时能够保持不变。[565]
爱因斯坦对自己的理论充满信心，以至于从1915年6月底开始，他在最著名的数学物理学中心——哥廷根大学举行了为时一周的一系列讲座，每次2小时。那里有多位天才人物，大卫·希尔伯特就是其中最著名的一位。爱因斯坦特别希望——后来表明是希望过度了——向他解释相对论的所有困难之处。
对哥廷根的访问硕果累累。爱因斯坦兴奋地对仓格尔说，他已经“完全说服了那里的数学家们，这真是快事一桩”。关于同样身为和平主义者的希尔伯特，爱因斯坦说：“我见到了他，对他非常欣赏。”几周以后，爱因斯坦又说，“我能够说服希尔伯特相信广义相对论”，并称他“有惊人的能量和独立性/。在给另一位物理学家的信中，爱因斯坦更加热情洋溢：“我极其欣喜地看到，在哥廷根，每一个细枝末节都得到了彻底的理解。我对希尔伯特狂喜不已！[566]
希尔伯特也同样被爱因斯坦和他的理论深深吸引，以至于没过多久，他决定看看自己是否能够先行得到正确的场方程。在三个月的哥廷根讲演期间，爱因斯坦有两项令人沮丧的发现：他的《纲要》理论的确有缺陷；希尔伯特本人正在热情高涨地试图自行得出正确的公式。
爱因斯坦之所以认识到他的《纲要》理论正在分崩离析，乃是源于一系列问题的不断积聚，不过以1915年10月初的两次打击为最。
首先，爱因斯坦在重新检查的时候发现，《纲要》方程并不像他曾经认为的那样能够真正解释旋转。[567]他希望证明，旋转只不过是另一种形式的相对运动，但事实表明，《纲要》并不能证明这一点。《纲要》方程并非像他所认为的那样，能够在匀速转动坐标轴的变换下保持协变。
在1913年的一份备忘录中，贝索曾经警告过他这可能是一个问题，但爱因斯坦没有理会。现在，在重新做了计算之后，他沮丧地看到，这根柱子坍塌了。“这是一个明显的矛盾。”他向天文学家弗伦德里希悲叹道。
他认为正是因为同样的错误，他的理论才无法完全解释水星轨道的运动。他对自己是否能够发现问题感到绝望。“我不相信我自己能够把错误找出来，因为在这方面我的思想已经过于陈旧。”[568]
不仅如此，爱因斯坦还意识到，他在所谓的“唯一性”论证上犯了一个错误，即根据能量动量守恒以及其他物理限制所要求的一套条件能够唯一地导出《纲要》中的场方程。他写信给洛伦兹，详细解释了他以前的“错误断言”。[569]
除此之外还有他已经知道的那些问题：《纲要》方程不是广义协变的，这就意味着它并不能使一切形式的加速运动和非匀速运动真正成为相对的，而且也没有完全解释水星的反常轨道。如今大厦将倾，他似乎可以听见希尔伯特正从哥廷根向他步步紧逼。
爱因斯坦的部分天才在于他的坚韧不拔。甚至在面对“显然的矛盾比如他1905年的相对论论文）时，他也能够固守自己的想法。他对自己关于物理世界的直觉感受深信不疑。其工作方式比大多数科学家更孤独，无论别人多么怀疑，他总是信守自己的本能。
然而尽管如此，他并非顽固不化。当他最终认定《纲要》理论站不住脚时，便断然将它抛弃。这正是他1915年10月所做的事情。
为了取代注定要失败的《纲要》理论，爱因斯坦开始把目光由物理方案（强调他对于物理学基本原理的感受）转向更多地依靠数学方案（运用黎曼和里奇张量）。他曾经在苏黎世笔记本中使用过这种方法，后来抛弃了它，但此时发现由它可以产生广义协变的引力场方程。诺顿写道：“爱因斯坦的逆转分开了水面，引领他由奴役走入了广义相对论的应许之地。[570]
当然，和往常一样，他仍然两种方案并用。为了采用重新焕发生机的数学方案，他不得不修改作为《纲要》理论基础的物理学假定。“这恰恰是爱因斯坦在苏黎世笔记本和《纲要》理论中没有实现的那种物理思考与数学思考的融合。”扬森和雷恩写道。[571]
于是他转向了曾经在苏黎世使用过的张量分析，更强调找到广义协变方程这一数学目标。“对之前理论的信任完全消失之后，”他对一位朋友说，“我清楚地看到，只有通过广义协变理论，也就是与黎曼协变量结合，才可能找到令人满意的解答。”[572]
结果，爱因斯坦开始了四个星期不知疲倦的疯狂工作。在此期间，他摆弄着一大堆张量和方程，不断进行修正和翻新。一连四个周四，他在普鲁士科学院做了四次演讲。1915年11月底工作达到了高潮，牛顿的宇宙成功得以修正。
每一周，50多位普鲁士科学院院士都会聚集在柏林市中心的普鲁士国家图书馆大礼堂，听取同行们的成果和见解。爱因斯坦的四次讲演几周前就安排好了，但直到讲演开始（甚至在开始之后#他还在紧张地忙于修正理论。
第一次讲演是在1915年11月4日。他开门见山地说：“在过去四年里，我试图基于非匀速运动的相对性假设建立一门广义相对论。”在谈到被抛弃的《纲要》理论时，他说相信自己已经发现了符合物理实在的唯一的引力定律。
但是接着，他坦陈了这一理论碰到的所有问题。“由于这个原因，我对场方程完全失去了信心”，他已经为此努力过两年多。现在，他已经转到了他和格罗斯曼1912年使用的方案。“于是我回到了场方程更加广义的协变性要求。当我与朋友格罗斯曼合作时，我曾经心情沉重地放弃了它。事实上，我们那时已经与答案相当接近。”[573]
爱因斯坦回到了格罗斯曼1912年向他介绍的黎曼张量和里奇张量。“任何真正理解它的人都很难抗拒这种理论的魅力，”他说，“它标志着由高斯、黎曼、克里斯托菲、里奇和莱维-契维塔等人创立的演算方法的真正胜利。”
这一方法使他与正确结果更近了，但他11月4日的方程仍然不是广义协变的。要达到这一步还需要三个星期。
此时，爱因斯坦正处于历史上罕见的科学创造力集中爆发的阵痛中。他说自己正在“极为紧张”地工作。[574]在此期间，他不仅要经受这种折磨，还要处理家庭内部的危机。妻子和贝索写来的信强调了他需要承担的经济义务，讨论了与两个儿子联系的方式。
就在他递交第一篇论文的11月4日，他给正在瑞士的汉斯·阿尔伯特写了一封痛苦而动人的信：
在信的结尾，他对自己有时表现出的心不在焉略致歉意。“我常常专注于工作，以致忘记吃午饭。”他说。[575]
爱因斯坦在忙于修改方程的同时，还与他昔日的朋友兼竞争者希尔伯特进行了一场尴尬的角力。此时希尔伯特正在寻找广义相对论方程，与他竞争。有人告诉爱因斯坦，这位哥廷根数学家已经发现了《纲要》方程的错误。由于担心被抢先，爱因斯坦给希尔伯特写了一封信，说他四周之前就已经发现了这些错误，并寄去了11月4日讲演的副本。“我很想知道，您是否喜欢这种新的解决办法。”爱因斯坦带着防御的口气问道。[576]
希尔伯特虽然在数学方面比爱因斯坦更好，但却不是同样好的物理学家。他并没有像爱因斯坦那样最终确保任何新理论在静态弱场情况下都能符合牛顿的旧理论，或者服从因果律。希尔伯特没有采用数学-物理双重方案，而主要采用了力图找到协变方程的数学方案。“希尔伯特喜欢开玩笑说，物理学太复杂了，不能只留给物理学家去研究。”奥弗比说。[577]
接下来的那个星期四，即11月11日，爱因斯坦提交了第二篇论文。他在其中使用了里奇张量，指定了新的坐标条件，使得方程具有广义协变性。事实表明，问题并没有得到根本解决。爱因斯坦距离最终答案虽然只有一步之遥，却始终迈不过去。[578]
他再次把论文寄给了希尔伯特。“倘若我目前的修改（并没有改变方程）是合理的，那么在物质构成方面，引力必定起着基础性的作用，”爱因斯坦说，“好奇心使我的工作更加困难了！”[579]
希尔伯特第二天的回信必定使爱因斯坦坐立不安。他说他正准备就“您提出的大问题给出一种公理化的解决方案”。希尔伯特打算暂不讨论，直到对这项物理研究做出实质性的推进。“但是既然您如此有兴趣，我愿意在下星期二（本月16日）把我的理论详详细细阐述一遍。”
他邀请爱因斯坦到哥廷根，亲自听他给出答案。会面将在下午6点开始，希尔伯特特意告知了从柏林到哥廷根的两列火车的到达时间。“如果您能和我们在一起，我的妻子和我将会非常高兴。”
信写完之后，希尔伯特又加上了一段挑逗式的附言。“根据我对你这篇新论文的理解，你所给出的解答与我的完全不同。”
11月15日，星期一，爱因斯坦一连写了四封信，也许我们可以从中感到他为何会胃痛。在给儿子汉斯·阿尔伯特的信中他说，他打算在圣诞节和新年前后去瑞士看他。“也许我们两个人单独到某个地方更好些，”比如一个隐蔽的小酒馆，他向儿子建议，“你觉得如何？”
他还给妻子写了一封安抚的信，感谢她不打算“破坏我与孩子们的关系”。他又给他们共同的朋友仓格尔写信说：“我已经修改了引力理论，意识到我以前的证明有一处脱漏……我很高兴在年底去瑞士看看我可爱的儿子。”[580]
最后，他给希尔伯特写了回信，谢绝了第二天访问哥廷根的邀请。信件没有掩饰他的焦虑：“我对您的分析非常感兴趣……您在明信片上的暗示，让人满怀期待。但眼下我没法去哥廷根……我疲惫极了，而且还受到胃痛的折磨……如有可能，请寄给我一本您论文的校样，以便缓解我的不耐。”[581]
幸运的是，那一周爱因斯坦的焦虑因为一个惊喜的发现而有所缓解。虽然他知道他的方程不是最终形式，但他还是决定看看由这种新方案是否能够产生正确的水星轨道运动结果。由于他和贝索此前已经做过计算（得到了一个令人失望的结果）所以用修正后的理论重新计算并未用去太多时间。
事实上，他在11月的第二次讲演中宣布的解答是正确的：每世纪43弧秒。[582]“我相信，这一发现是迄今为止爱因斯坦科学生活乃至整个一生中最强烈的情感体验。”派斯后来说。他激动万分，仿佛“心都要跳出来了”。“我简直高兴得要死，”他对埃伦菲斯特说。他还对另一位物理学家欢呼说：“我对水星近日点运动的结论是极其满意的。在这方面，天文学学究式的精确性对我们的帮助多么大啊，以前我还经常偷偷取笑这种精确性呢！”[583]
在同一场讲演中，他还报告了他的另一次计算。当他八年前第一次开始表述广义相对论时，他曾说，一个结论是引力会使光线弯曲。他曾经计算出，太阳附近的引力场将使光线大约偏折0.83弧秒，这与把光视作粒子的牛顿理论的预言相符。但是现在，利用修正后的新理论，考虑到时空弯曲所产生的效应，爱因斯坦计算出的光线弯曲是它的两倍。因此，他现在预言太阳引力将使光线大约偏折1.7弧秒。这一预言必须等到三年多之后再次发生合适的日食才能被检验。
11月18日一早，爱因斯坦收到了希尔伯特的新论文，即那篇他受邀到哥廷根听取的论文。爱因斯坦惊奇（且有些沮丧）地看至L它竟然与他本人的工作非常相似。他给希尔伯特回了一封冷冷的信，信中言辞简洁，显然旨在肯定他本人工作的优先性：
第二天，希尔伯特友好地回了信，慷慨大度地称自己并没有优先权。“衷心祝贺您拿下了近日点运动，”他写道，“如果我能像您那样算得那么快，那么在我的公式中，电子就不得不束手就擒，氢原子也会给我写一张致歉条，说明为什么它不发出辐射。”[585]
但是到了第三天，即11月20日，希尔伯特寄给哥廷根的一家科学杂志一篇论文，宣布了他本人给出的广义相对论方程。他为这篇论文选的标题并不谦虚，称之为《物理学的基础》。
当爱因斯坦正忙于准备他在普鲁士科学院达到顶峰的第四次讲演时，我们不知道他把希尔伯特寄给他的论文读了多少遍，也不知道其中哪些内容影响了他的思考。无论如何，他一周前就水星和光的偏折所做的计算使他认识到，他能够避免曾经强加给引力场方程的限制和坐标条件。于是在1915年11月25日，他为最后一次讲演“引力的场方程”及时提出了一套协变方程，使其广义相对论达到了巅峰。
在外行看来，这个结果并不像E=mc2那样生动。但是利用简洁的张量符号，各种纷繁复杂的东西可以被并入下标，最终的爱因斯坦场方程非常紧凑，令人赞叹。就像我们经常看到的那样，它印在自豪的物理系学生穿的T恤衫上。作为其中一个变种，[586]它可以写成：
方程左边的起始项便是里奇张量Rμv，gμv是非常重要的度规张量，R则是里奇张量的迹，即所谓的里奇标量。总之，方程左边——现在被称为爱因斯坦张量，可以简单地写成Gμv——将有关时空几何如何被有质量物体或其他能量源弯曲的所有信息都结合在了一起。
方程右边描述的是物质在引力场中的运动。两边共同表明了物体如何使时空弯曲，以及这种弯曲又如何反过来影响物体的运动。正如物理学家约翰·惠勒所说：“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的空间告诉物质如何运动。”[587]
一场宇宙之舞就这样上演了，正如物理学家格林所说：
最终，爱因斯坦得到了真正协变的方程，因为这种理论（至少令他满意地）包含了所有运动形式，无论是惯性运动、加速运动、旋转运动还是任意运动。在当年3月的《物理学纪事》中，他在给出理论的正式表述时宣称：“自然的一般定律是由那些对一切坐标系都有效的方程来表示的，也就是说，它们无论对于哪种变换都是协变的。”[589]
爱因斯坦对自己的成功激动不已，同时也担心，已于五天前在哥廷根提交了论文的希尔伯特，会被认为对这项理论有所贡献。“只有一位同行真正理解它，”他写信给朋友仓格尔说，“他正试图以巧妙的方式‘侵占’（亚伯拉罕的用语）它。”“侵占”（nostrifizieren）一词曾经被哥廷根的数学物理学家马克斯·亚伯拉罕使用过，指的是一种承认学位的活动，即德国大学将其他大学授予的学位变成他们自己的学位。“在我的人生经历中，几乎从来没有如此让我体会到人之可悲。”在几天以后给贝索的信中，他又说：“在这件事情上，我的同行们表现得很可恶。如果我讲给你听，你肯定会乐坏了。”[590]
那么，最终的数学方程应当主要归功于谁呢？关于爱因斯坦和希尔伯特的优先权问题，史学家们已经在小范围里进行了激烈争论，其驱动力有时似乎超出了纯科学的范围。在11月16日的谈话，以及一篇日期为11月20日的论文中，希尔伯特提出了他的方程，这些都早于爱因斯坦11月25日提出最终的方程。但是1997年，一些爱因斯坦学者发现了希尔伯特文章的一些校样，它们显示希尔伯特做了一些改动，之后于12月16日寄回了出版社。虽然在最初的版本中，希尔伯特的方程与爱因斯坦在11月25日讲演的最终版本相差不多，但有一个关键的区别。它们不是真正广义协变的，而且希尔伯特没有把里奇张量收缩，并把得到的“迹”即里奇标量放入方程。而爱因斯坦在11月25日的讲演中却这样做了。显然，希尔伯特在文章的修订版中做了改正，以符合爱因斯坦的版本。在谈到引力势时，他非常有雅量地加上了“首先由爱因斯坦引入”这一短语。
希尔伯特的支持者（以及爱因斯坦的恶意批评者）以各种论证作为回应，比如有一部分校样丢失了，“迹”这一项或者无关紧要，或者是显然的等。
平心而论，两人在1915年11月都导出了（在某种程度上是独立的，但也都知道对方在做什么）正式的广义相对论数学方程。根据希尔伯特对自己校样的修改来看，似乎是爱因斯坦首先发表了这些方程的最终版本。而且甚至连希尔伯特本人最后都把荣誉和优先权归于爱因斯坦。
无论如何，这些方程使爱因斯坦的理论获得了形式化表述。那年夏天，他在哥廷根见到希尔伯特时就向其解释过这种理论。甚至连主张把正确的场方程归于希尔伯特的物理学家索恩都说，方程背后的理论应当归功于爱因斯坦。“希尔伯特几乎与爱因斯坦同时独立地发现了最后几个数学步骤，但这些步骤之前的几乎任何东西都要归功于爱因斯坦，”索恩说：“没有爱因斯坦，广义相对论的引力定律也许要再过数十年才能被发现。”[591]
心胸宽广的希尔伯特也是这样认为的。他在论文最终的发表版本中明确指出：“在我看来，结果得出的引力微分方程与爱因斯坦建立的宏伟的广义相对论相一致。”此后他总是承认（这会使那些用他来贬低爱因斯坦的人失望的），爱因斯坦是相对论唯一的创造者。[592]“关于四维几何，哥廷根大街上的每一个孩子都比爱因斯坦知道更多，”据说他曾这样说，“然而尽管如此，做出这项工作的是爱因斯坦，而不是数学家们。”[593]
事实上，爱因斯坦与希尔伯特不久就重归于好。在他们就场方程发生冲撞几周以后，希尔伯特11月写信说，在他的支持下，爱因斯坦当选为哥廷根科学院院士。在表达谢意之后，爱因斯坦说：“我感到不得不对你说一些别的事情。”他解释说：
他们继续定期通信交流思想，并且计划为天文学家弗伦德里希安排工作。到了2月，爱因斯坦甚至再次访问了哥廷根，住在希尔伯特家。
身为作者，爱因斯坦的自豪之情完全可以理解。他一拿到四次讲演的副本，就寄给了朋友们。“一定要好好看看，”他对一位朋友说，“这些是我一生中最有价值的发现。”他又对另一位朋友说：“这一理论有着无与伦比的美。”[595]
36岁的爱因斯坦已经对我们的宇宙概念做出了历史上最具想象力和戏剧性的修正。广义相对论不仅是对某些实验数据的解释，或是对一套更精确定律的发现，而且是一种看待实在的全新方式。
在牛顿留给爱因斯坦的宇宙中，时间有一种绝对的存在性，它独立于物体和观察者而均匀流逝，空间也有类似的绝对存在性。引力被认为是物体神秘地穿过空虚的空间彼此施加的一种力。在这一框架中，物体服从力学定律。从行星轨道、气体扩散、分子抖动到声波（虽然不是光波）传播，它们在解释万物方面惊人的准确，堪称完美。
通过狭义相对论，爱因斯坦表明，空间和时间并不具有绝对的存在性，而是构成了一种时空结构。而通过广义相对论，这种时空结构不仅成了物体和事件的一种容器，而且也有自己的动力学，既被其中物体的运动所确定，也可以反过来确定它——就像弹子球和保龄球滚过时，蹦床的结构会发生弯曲一样，反过来，这种蹦床结构的弯曲又会规定滚过的球的路径，使弹子球朝着保龄球运动。
这种弯曲的时空结构解释了引力，引力与加速的等效，以及关于一切形式的运动的广义相对论。[596]在量子力学的先驱——诺贝尔奖获得者保罗·狄拉克看来，它“也许是迄今为止最伟大的科学发现”。20世纪物理学的另一位巨人玻恩则称它为“人思考自然的最伟大成就，哲学洞察、物理直觉和数学技巧最令人惊叹的结合”。[597]
整个过程使爱因斯坦精疲力竭，但也使他兴奋异常。虽然婚姻已经破裂，战争正在蹂躏着欧洲，但他仍然感到幸福。“我最大胆的梦想已成为现实，”他高兴地对贝索说，“广义协变性，水星的近日点运动极为精确。”他说自己“心满意足，但累得要死”。[598]
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