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第12章
跳舞的正方形与勾股定理
你高中时最喜欢的数学课程是什么？
我猜一定是几何学。
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这么多年来，很多人向我表达过他们对几何学的好感。人们喜欢几何学是不是因为很多人喜欢运用视觉思维，喜欢使用右脑，从而觉得图像化的几何学远远好过那些抽象冷漠的纯逻辑推导？也许吧。但是，也有人告诉我，他们喜欢几何学，正是因为几何严密、完美地遵从着逻辑。的确，几何学是一步一个脚印的扎实逻辑推导，每一个新定理都是从已经证明的旧定理一丝不苟地严密推导而来的。对很多人来说，这种绝对的逻辑性和理性，正是几何学的魅力所在。
不过就我个人看来（首先声明，我非常喜欢几何学），人们之所以喜欢几何学，并非因为它有绝对严密的逻辑性，而是因为几何学是逻辑和直觉的完美结合。当我们能够同时使用我们的左脑和右脑，总是特别令人开心的一件事。
为了充分阐述几何学的美，以及几何学带给人们的快乐，我们需要再次提到我们的老朋友勾股定理。你可能还记得，勾股定理的公式是a2＋b2=c2。下面我们要来仔细地研究一下勾股定理。我们的目标之一是，理解什么是a2＋b2=c2，并且搞清楚为什么这个公式是非常重要的。除此之外，我们还会看到，勾股定理的证明方法有两种，虽然这两种证明方法无疑都是正确的，我却想试着向大家解释一下，为什么其中一种证明方法比另一种证明方法更加“优雅”。
勾股定理考虑的是直角三角形的问题。所谓直角三角形，就是其中一个角为90度的三角形。直角三角形是一种很重要的形状，如果你把长方形沿着对角线切成两半，你就会得到两个直角三角形。
既然长方形在各个领域中都如此常见，显然直角三角形也是一种我们常常会见到和用到的重要形状。
比如，在地质勘察的时候，就会遇到直角三角形。如果你着手丈量一块长方形的地块，那么你很可能想知道从这块地的一个角到它的对角的距离有多长。（实际上，这正是几何学最早的起源。几何学是因为丈量土地的需要而产生的。在英文中，几何学这个词geometry可以划分成两个词根，geo是“土地”的意思，metry则是“丈量”的意思。）
勾股定理告诉我们，一个直角三角形的斜边长度和两条直角边长度之间存在什么关系。如果直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，那么根据勾股定理，这个直角三角形的斜边c与两条直角边a、b的关系是：
a2＋b2=c2
在英语中，直角三角形的斜边叫作hypotenuse，这个词的字面意思是“下方的长度”（hypo指在某物下方，tenuse是长度的意思）。我始终没有搞清楚“斜边”一词为何字面表达为“下方的长度”。（有没有懂拉丁语或希腊语的学者来为我解答一下？）tenuse在希腊语中不仅表示长度，还有“拉伸、绷直”的意思，斜边看起来确实像一条绷紧的弦，但“下方”这层意思则实在令人感到困惑。
先暂时抛开词源学的问题，我们还是来看看勾股定理。为了简化问题，我们取几个最方便计算的数值，假设a=3码、b=4码，我们的目标是求出未知的斜边长度，也就是c的值。好，现在让我们穿上“法衣”，大声念出我们的咒语：3的平方加上4的平方，也就是9加上16（注意现在这些数字的单位都是平方码，因为我们对数字进行了平方，就要同时把数字后面的单位也平方一下，这样才不会出错）。9＋16=25，也就是说c2=25，等式两边开平方，我们算出c=5码，即这个直角三角形的斜边长度是5码。
从这个角度来看勾股定理，似乎勾股定理是一个关于长度的定理。但是，在几何学的传统上，勾股定理一直被认为是一个关于面积的定理。为什么呢？让我换一种说法，你就明白了。勾股定理还可以表述为：
斜边上的方等于两条直角边上的方之和。
你可能从没听说这种说法，甚至根本不明白这句话是什么意思。让我来给你解释一下，斜边上的方并不是指斜边的平方，它真的就是字面的意思：斜边上面的那个正方形。平方是一个代数的概念，而斜边上面的正方形则完完全全是几何学的概念。但是，斜边上的正方形到底是什么样子的呢？让我来画给你看。
让我们把这个正方形命名为“大正方形”，因为接下来我们还会看到一个小正方形和一个中正方形，而那两个正方形将分别位于两条直角边之上，请看下图。
勾股定理告诉我们：大正方形的面积等于小正方形和中正方形的面积之和。
几千年以来，这个伟大而神奇的定理一直是用下面的这张图来表示的，这张帮助我们记忆的图非常醒目，看起来就像3个跳舞的正方形。
从面积而非长度的角度来看勾股定理，我们可以发现很多有趣的东西。比如，你可以通过吃饼干的方法来验证勾股定理，你尝试先用很多小块的饼干拼出那3个跳舞的正方形，然后吃掉它们看看等式是不是真的成立。你还可以把勾股定理当成一个小孩子玩的拼图游戏，通过摆弄不同形状的拼图零片，轻松地验证勾股定理是否成立，让我一步步地做给你看。
首先，我们回到斜边上的正方形，再次重温一下，这个大正方形如下图所示。
仔细看一眼这个正方形，你会感到一丝直觉上的不安，因为这个正方形看起来很不稳定，似乎随时要翻转着倒下来。还有一个让我不安的因素是，这个正方形的其中一边和直角三角形的斜边重合，而且这一边似乎可以是正方形四条边的任意一条，这种随机性和不唯一性，也让我感觉有点儿不舒服。
既然这样，就让我们顺从自己的直觉，补画另外3个三角形，从而得到一幅更稳定、更对称的图形。
现在，让我们回顾一下我们的初衷：我们想要证明这个歪歪斜斜地靠在斜边上的正方形的面积（虽然添上了另外3个三角形，但是这个大正方形仍然是我们认识的那个大正方形。虽然现在一共有4个三角形围着大正方形，但不要忘了左下角的那个才是我们要研究的那个直角三角形）等于小正方形和中正方形的面积之和。问题是：小正方形和中正方形到底在哪儿呢？让我们通过移动三角形的方法来找出小正方形和中正方形。
把上面的图片想象成一个拼图：这个拼图有一个正方形的框架，框架里面有4块三角形的拼图零片。
在这样的设定下，中间那个歪斜的正方形是拼图框架中间的空白部分，而框架内非空白的部分则被4个三角形拼图零片占据。
现在让我们来试着移动这4个拼图零片，用不同的方法拼出不同的形状，就像玩七巧板一样。显然，不管我们怎么拼，框架内空白区域的面积总是保持不变的，这是因为框架内的总面积不变，4块拼图零片的总面积也不会改变。
开动脑筋以后，我们非常聪明地把4个三角形拼成以下这个图形。
看到了吗？拼成上图图形以后，空白的区域变成了一个小正方形和一个中等大小的正方形，这不正是我们要证明的吗？如前所述，空白区域的面积永远等于大正方形的面积，所以，我们证明了勾股定理是成立的！
这种证明方法比其他证明方法好得多，它不仅让人们相信这个定理的存在，还非常形象地将其演示给人们看。这正是这种证明方法的“优雅”之处。
为了做出比较，在此我提供勾股定理的另一种证明方法。这种证明方法也很有名，而且还非常简单，因为它完全没有用到面积的概念。
我们还是假设一个直角三角形两条直角边的长度分别是a和b，斜边的长度为c，如下图所示。
现在，假想我们突然接受了神灵的启示，或者突然才思泉涌、醍醐灌顶……总之，基于某些神秘的原因，我们决定画一条辅助线。这条辅助线从直角的顶点开始，垂直于三角形的斜边，如上图中的右图所示。
通过这条天才的辅助线，我们在原本的大三角形里面创造出了两个新的小三角形。很容易证明的是，这三个三角形的形状是相似的，也就是说，它们的形状是一模一样的，只是大小不同。因此，每个三角形的三边关系必然是一样的，即边与边长度的比值是一样的，翻译成数学语言就是：
同时，我们还知道：
c=d＋e
因为我们只是画了一条辅助线，把原来的斜边c分割成了两个部分d和e，所以d和e的总长当然应该等于斜边c的长度。
看到这里，你可能感到有些头晕，心里会犯嘀咕：我们现在在做什么？下一步要做什么？让我来回答一下这两个问题：我们现在创造出了5个方程式，我们下一步的目标是使这5个方程式成为我们想要证明的等式：
a2＋b2=c2
怎么做呢？你不妨先自己研究一下。研究一会儿你就会发现，5个方程式中有2个方程式是完全没用的，就这一点而言这个证明方法相当“丑陋”，因为一个“优雅”的证明里不应该有任何多余的东西。当然，这只是后见之明，因为在一开始，你根本不可能知道5个方程式中的哪三个是有用的。
不管怎样，通过找出那3个有用的方程式，然后进行研究，你就能得出a2＋b2=c2这个公式。
现在，我们来讨论一下这两种证明方法到底孰优孰劣。从审美的角度来说，我认为第一种证明方法要高明许多，你同意吗？第二种证明方法有很多不够优雅的地方：首先，第二种证明方法的结尾部分确实过长；其次，这只是一个几何证明方法。
但是，我觉得第二种证明方法的致命缺陷还不只是上述两条，它最大的缺点在于它太不直观了。当你终于艰难地完成了这个证明，你可能勉强相信勾股定理的成立，但是你仍然无法直观地看到它为什么成立。
关于证明方法的优劣讨论暂时告一段落。现在，我们来说说为什么勾股定理如此重要。原因在于，它揭示了关于空间性质的一个非常深刻而又非常基础的真理。勾股定理暗含了一个重要的信息：空间是平面的，而不是弯曲的。如果是在一个曲面上（例如地球仪表面或者面包圈表面），勾股定理就需要被修正才能继续成立。在爱因斯坦的广义相对论中，他成功地完成了这一挑战。在广义相对论中，重力不再被看作一种力，而是被看作一种空间弯曲程度的表现。事实上，爱因斯坦并不是第一个使空间弯曲的人，在他之前，黎曼和其他数学家已经走出了创造性的一步，奠定了非欧几何的基石。
从勾股定理到爱因斯坦的相对论，这中间还有很长的一段路。但至少这条路是一条直线，或者应该说，至少这条路的大部分路段是直线。
