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附录2

技术札记

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决定我们宇宙的物理定理都是用数学语言描述的。对于那些能够轻松应对数学的读者，在这个部分，我写了一些源自于物理定律的数学方程，然后告诉大家我是如何推导出这本书里的一些结论的。在我的方程里有两个数字出现频率很高，它们是光速c=3.00×10⁸米/秒以及牛顿引力常数G=6.67×10^–11米³/千克/秒²。此外，我用了科学计数法表示，所以10⁸代表1后面跟随着8个0，也就是100 000 000或者1亿。而10^–10代表的是在小数点后和1之间有10个0，也就是0.000 000 000 01。我并不追求比1%还精确的数字，所以在我的数字里只有两位或者三位有效数字。而当一个数字非常不确定的时候，我就只用一位有效数字。

弯曲时空和潮汐力

关于爱因斯坦的相对论物理定律中的时间弯曲，其最简单的定量形式是：两个完全一样并且相隔不远的时钟沿着一条引力线的方向分开放置，保持彼此相对静止。我们标记R为它们计时的微小差异，用D表示它们之间的距离，g为它们感受到的引力加速度（从时间流动最快的地方指向时间流动最慢的方向）。那么爱因斯坦的相对论物理定论告诉我们g=RC²/D。对于在哈佛大学塔内进行的庞德-雷布卡实验而言，R是每天变化210皮秒，也就是2.43×10^-15，而塔高D是22.3米。把这些量代入爱因斯坦的相对论物理定律的方程中，我们可以推导出9.8米/秒²，这的确就是我们地球上的重力加速度。

黑洞卡冈都亚的构造

对于一个像卡冈都亚这样自旋非常快的黑洞来说，黑洞赤道面上的视界周长C可以用公式确定C=2πGM/c²=9.3（M/M_sun）千米。在这里，M是黑洞的质量，而太阳的质量为M_sun=1.99×10³⁰千克，对于一个自旋非常慢的黑洞来说，周长将是这个数值的两倍。视界的半径被定义为周长除以2π：对于卡冈都亚来说，R=GM/c²=1.48×10⁸千米。这个值大约和地球围绕太阳公转的轨道半径相当。

我推导卡冈都亚的质量是按照下面的过程：米勒星球质量是m，它对行星表面会施加一个向内的引力加速度g，这个加速度g决定于牛顿的引力平方反比定律g=Gm/r²，这里r是行星的半径。在行星表面上离卡冈都亚最近或者最远的地方，卡冈都亚的潮汐力将会施加一个拉伸的加速度（就是卡冈都亚施加在行星表面和距离r以外的行星中心的引力差）可以确定为g_tidal=（2Gm/R³）r，这里R是行星围绕卡冈都亚轨道的半径，它非常靠近卡冈都亚的视界半径。如果作用在表面的拉伸力的加速度大于行星自身的向内的引力加速度，这一行星就会被撕碎，所以g_tidal必须小于g：g_tidal<g。将上面的关于g、g_tidal和R的方程放进去，而且将行星的质量表达为它的密度ρ，也就是M=（4π/3）r³ρ，再做一些代数计算，我们就可以得到质量限制M＜G³ρ。在我确定了米勒星球的密度为ρ=10 000千克/立方米（相当于致密的石头的密度）之后，我就可以确定卡冈都亚的质量为M<3.4×10³⁸千克，这个上限值和20亿倍太阳质量相当。这样，我就将黑洞质量近似为10亿倍太阳质量。

利用爱因斯坦的相对论物理定律方程，我已经推导出了一个方程联系米勒星球上的时间变慢速度S=1小时/（7年）=1.63×10^–5和自旋差值α（后者表示卡冈都亚的自旋和可能的最大自旋值之间的差值）的方程：α=16S³/。这个方程只对快速自旋的黑洞成立。代入上面的S值，我们可以得到α=1.3×10^–14;可以看出，卡冈都亚的实际自旋值仅仅比可能的最大自旋小一点儿，只小100万亿分之一。

打造黑洞卡冈都亚

我交给双重否定公司奥利弗·詹姆斯的方程是用来描述卡冈都亚附近光线的轨道运动的，这组方程其实是莱文和盖布·佩雷斯-吉兹在2008年的文章附录A中方程的一个变形。我们关于光束演化的方程则是皮洛特和罗德在1977年的两篇文章中方程的变形。保罗·富兰克林的团队和我已经在文章Oliver et. al.（2015a）中给出了我们方程的具体形式，而且我们还讨论了实施方案以及相应数值模拟的具体细节。

氧气危机

这里的所有计算是我在第13章中文字陈述的基础。这是一个很好的关于科学家如何进行估算的例子。这些数字都只是基本近似。所以，我将它们只精确到1位有效数字。

地球大气的质量大约是5×10¹⁸千克，其中80%是氮气，而20%是氧气，也就是大约1×10¹⁸千克的O₂。而在尚未降解的植物生命体中的碳（尚未氧化，地球物理学家们称之为“有机碳”）的总质量为3×10¹⁵千克。这大约是海洋表面层或者陆地上的碳的一半（可参考赫奇斯和基尔在1995年发表文章的表1）。平均来说，这两种形式的碳大约在30年内都能够被氧化（变成CO₂）。因为CO₂有两个氧原子（这来源于大气），只有一个碳原子，而且每个氧原子的质量大约是碳原子质量的16/12。如果所有植物都死亡了，那么所有碳原子的氧化过程将会消耗掉2×16/12×（3×10¹⁵千克）≈1×10¹⁶千克的O₂，这大约是我们大气中氧气的1%。

对于地球上海洋突然翻动的证据和翻动如何产生的理论，可以参考阿德金斯、英格索尔和帕斯奎罗在2005年发表的文章。通过海洋翻动可以将海洋底部沉淀物里的有机碳带到地球表面，通常在这些有机碳数量的估算中，只是考虑了被洋流和动物活动搅动的上沉淀层。这个混合层里的碳含量是两个量的乘积：一个是将碳储存到沉淀层的速率（大约为10¹¹千克每年），另外一个量是由海水里的氧气将这些碳氧化所需要的平均时间（1 000年）。这样可以得到1.5×10¹⁴千克的碳，这大约是陆地上和海洋表面层的1/20（可参考爱默生和赫奇斯在1998年以及赫奇斯和基尔在1995年发表的文章）。然而，有些问题还有待解决：（1）确定的沉积率可能错得很离谱。比如，鲍姆加特等人在2009年根据大量的测量，发现爪哇和苏门答腊岛附近的印度洋中沉积率大约有50倍的不确定性。如果外推到整个海洋中，那么将在混合层中得到3×10¹⁵千克的碳（将和陆地上以及海洋表面层中碳的含量一样）。（2）一大部分沉积碳将沉入更深一层的沉积物中，从而不能和海水混合接触，进而只能在突然的海洋翻动时被氧化。最近的一次海洋翻动被认为是发生在最近的冰川纪，大约两万年前——这大约是混合层中氧化时间的20倍。所以，非混合层里所含的有机碳大约是混合层里的20倍，也大约是陆地和海洋表面碳的20倍。如果这些碳被一次新的翻动带到海洋表面而被氧化，则将足够导致每一个人缺氧，从而死于CO₂中毒；可以参见第11章的结尾。总之，这样一个方案似乎是非常不可能的，但却是可以想象的。

《星际穿越》中虫洞的可视化

克里斯托弗·诺兰选定《星际穿越》中虫洞的直径为几千米。这样从地球上看上去，虫洞的角直径，以弧度为单位，将是虫洞的直径除以它到地球的距离。而这一距离大约是9个天文单位或者1.4×10⁹千米（到土星轨道的距离）。这样，虫洞的角直径大约是（2千米）/（1.4×10⁹千米）=1.4×10^–9弧度，大约是0.000 3角秒。射电望远镜通常可以通过全球范围的干涉测量法达到这样的角分辨率。而在2014年，使用了一种叫作“自适应光学”技术的地基光学望远镜和太空中的哈勃望远镜所能达到的分辨率也比这个值差100倍。2014年，在夏威夷的两个凯克（Keck）双子望远镜之间的干涉测量法达到的精度也还是比虫洞的角直径差10倍。在电影《星际穿越》所刻画的那个年代，通过两个距离遥远的光学望远镜的干涉测量得到比虫洞的角直径0.000 3角秒更小的分辨率看起来也是可行的。

米勒星球，未被吞噬的幸存者

如果你对牛顿引力理论的数学形式很熟悉，那么你会发现一个非常有趣的牛顿引力的修改版本，是由天体物理学家玻丹·帕琴斯基（Bohdan Paczynski）和保罗·维塔（Paul Wiita）于1980年提出的。在这个修改的版本里，一个无自旋黑洞的引力加速度将由牛顿的平方反比定律g=GM/r²变为g=GM/（r-r_h）²。这里M是黑洞的质量，r是到黑洞外感受到加速度g的半径。而r_h=2GM/c²是无自旋黑洞的视界半径。这个修改版本得到的结果与用广义相对论预测的引力加速度惊人相似。^[1]使用这个修改的引力，你能给出图16-2的定量估计的版本吗?^[2]而且能推导出米勒星球的轨道半径吗？你的结果将仅仅是大致正确的，因为对卡冈都亚引力的帕琴斯基-维塔描述没有考虑空间回旋的运动效应，这种回旋是因为黑洞自转拖拽周围的空间所致。

布兰德教授的方程

关于出现在教授方程（见图24-6）里不同数学符号的含义已经在其他15块黑板上一一解释了。他的方程将作用量S（“量子有效作用量”的经典极限）表示为一个对“拉格朗日”（Lagrangian）函数组L的积分。这些“拉格朗日”函数涉及一个五维超体和我们的四维膜的时空几何（度规），还涉及存在于超体里的一系列场（表示为Q、σ、λ、ξ和φⁱ）与存在于我们的宇宙膜世界里的“标准模型场”（包含电场和磁场）。然后，通过计算这些场和时空度规的变分，寻找作用量S的一个极值（最大值、最小值或者拐点值）。产生极值的条件是一组控制着这些场演化的“欧拉-拉格朗日”方程（Euler-Lagrange Equation）。这一解法就是变分法。教授和墨菲对一系列未知变量（包括超体场φⁱ、函数U（Q）、 H_ij（Q²）、 M（标准模型场）和拉格朗日函数里的常数W_ij）做了猜想。在图24-9里，你们看见我正在黑板上列出他们的一系列猜想。对于每一组猜想，他们计算时空度规和场的变分，推导出“欧拉-拉格朗日”方程组，再通过电脑的数值模拟来研究这些方程对于引力异常的预测。

临界轨道，“火山口”的边缘

这节的笔记是针对那些很熟悉牛顿引力理论的数学描述方式以及能量和角动量守恒定律的读者的。请你们试着利用下面的方程推导出类似火山边缘的方程：（1）对于卡冈都亚的引力加速度的帕琴斯基-维塔近似方程g=GM/（r–r_h）²（参看第16章的“技术札记”）。（2）能量和角动量的守恒定律。利用第16章中《技术札记》的记号，加上用L代表“永恒”号飞船的角动量（每单位质量），则方程可以描述为。

方程右边第一项是“永恒”号飞船的引力势能（每单位质量），第二项是它做圆周运动的动能。这两项之和，也就是V（r）加上径向运动的动能v²/2（v是径向运动速度）等于“永恒”号的守恒的总能量（每单位质量）。火山的边缘就是当V（r）变为最大值的时候半径r所对应的地方。请你们试着用这些方程和想法证明我在第26章里的一些结论，包括关于“永恒”号的轨道、在火山边缘轨道的不稳定性以及朝向埃德蒙兹星球的发射。

向过去传递信息

无论是在超体中，还是在我们的宇宙膜里，信息或者其他物体能传播的时空中的每一位置都得遵循一个定理：没有任何事物的运动速度可以超越光速。物理学家们使用时空示意图来探索这条定律的后果。当我们画时空示意图的时候，对于每一个事件都有一个“未来光锥”。光将沿着这个光锥向外传播；所有别的都将比光运动的要慢，只能从这个事件沿着光锥或者在光锥里面传播。具体可以参见《引力》一书。

以我作为一位物理学家对《星际穿越》的解释，图F-1表示的是一些未来光锥位于超立方体里面和三维表面的分布样式图。（关于时空弯曲的数学描述请参考第29章的脚注①，物理学家们称这种光锥的分布样式为超立方体里的“时空的因果结构”）。图F-1也展示了库珀通过超立方体的内部传递到墨菲卧室的引力波信号（力）的世界线（紫色的曲线）；还有从卧室传出通过超立方体的表面，而使库珀能看见卧室的光线的世界线（红色的虚线）。这其实是纯粹空间示意图图29-5的时空示意图版本。

图F-1 超立方体内部时空的因果结构图，空间的一个维度已经被压缩

从这个示意图里，你能理解引力波信息是怎样以光速但是相对于卧室时间以及库珀的时间向后运动的吗？相比之下，你是否能理解光线是如何相对于卧室和库珀的时间以光速向前运动的？请比较我们关于埃舍尔的画（见图29-6）的讨论。

[1] 在开发与《星际穿越》相关的视频游戏中，帕琴斯基-维塔的引力修正理论被用来展示黑洞在引力弹弓效应中对飞船轨道的影响，请参见Game.InterstellarMovie.com。

[2] 如果想了解相关计算，请参见下面关于第26章的“技术札记”。