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一、最纯粹的数学
数学往往被人们、特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后，它当然不能屈尊俯就其他学科。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联席会议”上，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲，以求消除存在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说：
经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事实上它们两者毫无共同之处。
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然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其他学科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何等一向被认为纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都已被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。
但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。
说来也怪，数论这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定理都是靠用数字试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。
我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而12 可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。
为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用N 表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1。这写成数学式是：
（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N 大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到N 为止（包括N 在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。
因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比N 还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N 为最大质数的假设相矛盾。
这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。
我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法。这就是把整个自然数列1，2，3，4…统统写下来，然后去掉所有2 的倍数、3 的倍数、5 的倍数等等。前100 个数“过筛”后的情况如图9 所示，共剩下26 个质数。用这种原理简单的过筛方法，我们已经得到了10 亿以内的质数表。
如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊。但是，经过了多少世纪的努力，并没有找到这个公式。1640 年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是2^(2^n)+ 1，n 取自然数的各个值1，2，3，4 等等。
从这个公式我们得到：
这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数2^(2^5)+1=4 294 967 297 不是个质数，而是6 700 417 和641 的乘积。因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。
还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数。这个公式是：
其中n 也取自然数各个值1，2，3 等等。已经发现，在n 为1 到40的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第41 步，这个公式也不行了。
事实上，
这是一个平方数，而不是个质数。
人们还试验过另一个公式，它是
这个公式在n 从1 到79 时都能得到质数，但当，n＝80 时，它又不成立了！
因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今仍然没有解决。
数论定理的另一个有趣的例子，是1742 年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。从一些简单例子，你很容易看出这句话是对的。例如，12=7+5，24=17+7，32=29+3。但是数学家们在这方面作了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931 年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于300 000 个质数之和。“300 000 个质数之和”和“2 个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4 个质数之和”。但是，从维诺格拉多夫的“4 个质数”到哥德巴赫的“2 个质数”，这最后的两步大概是最难走的。谁也不能告诉你，要想最后证明或最后推翻这个令人作难的猜想，到底是需要几年还是需要几个世纪。
可见，谈到推导能自动给出直到任意大的所有质数的公式的问题，从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存在这样的公式，也都还没有把握呢！
现在，让我们换个小一点的问题看一看——在给定的范围内质数所能占的百分比有多大。这个比值是随着数的增长而加大还是减小，或者是近似为常数呢？我们可以用经验方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法，来解决这个问题。这样，我们查出，100 之内有26 个质数，在1 000 之内有168 个，在1 000 000 之内有78 498 个，在1 000 000 000 之内有50 847 478 个。把质数个数除以相应范围内的整数个数，得出下表：
从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数目相对减少了。但是，并不存在质数的终止点。
有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减小的现象呢？有的，并且，这个有关质数平均分布的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单，就是：从1 到任何自然数N之间所含质数的百分比，近似由N的自然对数的倒数所表示。N越大，这个规律就越精确。
从上表的第四栏：可以看到N 的自然对数的倒数。把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的，并且，N 越大，它们也就越相近。
有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格证明的。上面这个质数定理也是如此。直到19 世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家布散（de la Vallée Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难，我们这里就不介绍了。
既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长之比为3:4:5 的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番图（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3 和4 这两个整数？他证明了还有其他具有同样性质的整数（实际上有无穷多组），并给出了求这些数的一些规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程
x^2 + y^2 = z^2，
式中，x，y，z必须是整数。
1621 年，费马在巴黎买了一本刁番图所著《算术学》的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书上空白处作一些简短的笔记，并且指出，
x^2 + y^2 = z^2
有无穷多组整数解，而形如
x^n + y^n = z^n
的方程，当n 大于2 时，永远没有整数解。
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”
费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番图的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那个时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有了相当大的发展，一门全新的数学分支——“理想数论”——在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程
x^3 + y^3 = z^3 和x^4 + y^4 = z^4
不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了，x^5 + y^5 = z^5 也是这样。依靠其他一些数学家的共同努力，现在已经证明，在n小于269 的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对指数n在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答，曾经悬赏过10 万马克。那时，研究这个问题的人真是不少，不过，这些拜金的业余数学家都一事无成。
这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比269 大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。
现在，让我们来搞点高级算术。二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的算术平方根为二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。
然而，负数的平方根是什么样呢？
和
之类的表式有什么意义吗？
如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论，说明这样的式子没有任何意义，这里可以引用12 世纪的一位数学家拜斯迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”
可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能创造出一些意义来。负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在20 世纪相对论的时空结合问题上露面。
第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是16 世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10 分成两部分，使两者的乘积等于40 时，他指出，尽管这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成5 +
和5 -
这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表式没有意义，是虚构的、想像的，但是他毕竟还是把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10 分成两个乘起来等于40 的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根——卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”——就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉（Euler）1770 年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切形如
，
的数学式，都是不可能有的、想像的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”
但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数的根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。
不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻像。而且，正像我们从基数 1 可得到所有实数一样，我们可以把
作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。
通常写作 i。
不难看出，
等等。这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭挡。此外，实数和虚数还能结合起来，形成单一的表式，例如 5 +
= 5 +
。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表式通常称做复数。
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释以后，这张面纱才被揭去。这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（Robot Argand），法国巴黎人。
按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以像图10 那样表示出来，其中3 是水平方向的座标，4 是垂直方向的座标。
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点；而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3 乘以虚数单位i 时，就得到位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90°。（见图10）。
如果把3i 再乘以i，则又须再逆转90°，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为
3i × i = 3i^2 = -3，
或
i^2 = -1
。
“ i 的平方等于 - 1”这个说法比“两次旋转90°（都逆时针进行）便变成反向”更容易理解。
这个规则同样适用于复数把3＋4i 乘以i，得到
（3 + 4i）i = 3i + 4i^2 = 3i - 4 = -4 + 3i。
从图10 可立即看出，-4 + 3i 正好相当于3 + 4i 这个点绕原点逆时针旋转了90°。同样的道理，一个数乘上－i 就是它绕原点顺时针旋转90°。这一点从图10 也能看出。
如果你现在仍然觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的、包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧。
从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏。它是这样写着的：
乘船至北纬____、西经____，即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树②。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也钉个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。
这道指示很清楚、明白。所以，这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到这座岛，也找到了橡树和松树，但使他大失所望的是，绞架不见了。经过长时间的风吹日晒雨淋，绞架已糟烂成土，一点痕迹也看不出了。
我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。在狂乱中，他在地上乱掘起来。但是，地方太大了，一切只是白费力气。他只好两手空空、启帆回程。因此，那项宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！
这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学，特别是虚数，他本来是有可能找到这宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。
我们把这个岛看成一个复数平面。过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11），并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的-1 点上，松树则在+1 点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，Γ 应该是个复数，即
Γ = a + bi
现在来搞点小计算，同时别忘了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在－1，两者的距离和方位便为
-1–Γ = -（1 + Γ）。
同理，绞架与松树相距1–Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90°，也就是按上述规则把两个距离分别乘以–i 和i。这样便得出两根桩的位置为：
第一根：(–i)[–(1＋Γ)] + 1 = i(Γ + 1) + 1，
第二根：( + i)(1–Γ)－1 = i(1–Γ)–1。
宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即
1/2［i(Γ + 1) + 1 + i(1–Γ)–1］
= 1/2 (iΓ + i + 1 + i–iΓ–1) = 1/2(2i) = i。
现在可以看出，Γ 所表示的未知绞架的位置已在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在+i 这个点上。
瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11 中打×处一挖，就可以把宝贝弄到手了。
如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置，再在不同的地方，假设几次绞架的位置，然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中+i 那个位置！
依靠-1 的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思想和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。
