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一、时间是第四维
关于第四维的概念经常被认为是很神秘、很值得怀疑的。我们这些只有宽度、厚度和高度的生物，怎么竟敢奢谈什么四维空间呢？从我们三维的头脑里能想像出四维的情景吗？一个四维的正方体或四维的球体该是什么样子呢？当我们说的是“想像”一头鼻里喷火、尾上披鳞的巨龙、或一架设有游泳池并在双翼上有两个网球场的超级客机时，实际上只不过是在头脑里描绘这些东西果真突然出现在我们面前时的样子。我们描绘这种图像的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物体——连同我们本身在内的三维空间。如果说这就是“想像”这个词的含义，那我们就想像不了出现在三维空间背景上的四维物体是什么样子了，正如同我们不可能将一个三维物体压进一个平面那样。不过且慢，我们确实可以在平面上画出三维物体来，因而在某种意义上可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的物理力来实现，而是用“几何投影”的方法进行的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以立即从图24 上看出来。
用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完完全全“压进”三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影是二维图形一样。
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为了更好地理解这个问题，让我们先考虑一下，生活在平面上的二维扁片人是如何领悟三维立方体的概念的。不难想像，作为三维空间的生物，我们有一个优越之处，即可以从二维空间的上方、即第三个方向上来观察平面上的世界。将立方体“压”进平面的唯一的方法，是用图25 所示的方法将它“投影”到平面上。旋转这个立方体，可以得到各式各样的投影。观察这些投影，我们那些二维的扁片朋友就多少能对这个叫做“三维立方体”的神秘图形的性质形成某些概念。他们不能“跳出”他们那个面像我们这样看这个立方体。不过仅仅是观看投影，他们也能说出这个东西有八个顶点、十二条边等等。现在请看图26，你将发现，你和那些只能从平面上捉摸立方体投影的扁片人一样处于困难的境地了。事实上，图中那一家人如此惊愕地研究着的那个古怪复杂的玩艺儿，正是一个四维超正方体在我们这个普通三维空间中的投影。
仔细端详这个形体，你很容易发现，它与图25 中令扁片人惊讶不止的图形具有相同的特征：普通立方体在平面上的投影是两个正方形，一个套在另一个里面，并且顶点和顶点相连；超正方体在一般空间中的投影则由两个立方体构成，一个套在另一个里面，顶点也相连。数一数就知道，这个超正方体共有16 个顶点、32 条棱和24 个面。好一个正方体呀，是吧？
让我们再来看看四维球体该是什么样的。为此，我们最好还是先看一个较为熟悉的例子，即一个普通圆球在平面上的投影。不妨设想将一个标出陆地和海洋的透明球投射到一堵白墙上（图27）。在这个投影上，两个半球当然重叠在一起，而且，从投影上看，美国的纽约和中国的北京离得很近。但这只是个表面印象。实际上，投影上的每一个点都代表球上两个相对的点，而一架从纽约飞到北京的飞机，其投影则先移动到球体投影的边缘，然后再一直退回来。尽管从图上看来，两架飞机的航线相重合，但如果它们“确实”分别在两个半球上飞行，那是不会相撞的。
这就是普通球体平面投影的性质。再发挥一下想像力，我们就不难判断出四维超球体的三维投影的形状。正如普通圆球的平面投影是两个相叠（点对点）、只在外面的圆周上连接的圆盘一样，超球体的三维投影一定是两个互相贯穿并且外表面相连接的球体。这种特殊结构，我们早在上一章讨论过了，不过那时是作为与封闭球面相类似的三维封闭空间的例子提出的。因此，这里只需再补充一句：四维球体的三维投影就是上一节讲到的两个沿整个外表皮长在一起的苹果。
同样地，用这种类比的方法我们能够解答许多有关四维形体其他性质的问题。不过，无论如何，我们也决不能够在我们这个物理空间内“想像”出第四个独立的方向来。
但是，只要再多思考一下，你就会意识到，把第四个方向看得太神秘是毫无必要的。事实上，有一个我们几乎每天都要用的字眼，可以用来表示、并且也的确就是物理世界的第四个独立的方向，这个字眼就是“时间”。时间经常和空间一起被用来描绘我们周围发生的事件。当我们说到宇宙间发生的任何事情时，无论是说在街上与老朋友邂逅，还是说遥远星体的爆炸，一般都不只说出它发生在何处，还要说出发生在何时。因此，除表示空间位置的三个方向要素之外，又增添了一个要素——时间。
再进一步考虑考虑，你还会很容易地意识到，所有的实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。你所住的房屋就是在长度上、宽度上、高度上和时间上伸展的。时间的伸展从盖房时算起，到它最后被烧毁，或被某个拆迁公司扒掉，或因年久而坍塌为止。
不错，时间这个方向要素与其他三维很不相同。时间间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，噹噹声表示小时；而空间间隔则是用尺子量度的。再说，你能用一把尺子来量度长、宽、高，却不能把这把尺变成一座钟来量度时间；还有，在空间里你能向前、向后、向上走，然后再返回来；而在时间上却只能从过去到将来，是退不回来的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间作为物理世界的第四个方向要素，不过，要注意别忘记它与空间不大一样。
在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的描绘四维形体的方法较为便当。还记得四维形体，比如那个超正方体的投影是多么古怪吧？它居然有16 个顶点、32 条棱和24 个面！难怪图26 上的那些人会那么瞠目结舌地瞪着这个几何怪物了。
不过，从这个新观点出发，一个四维正方体就只是一个存在了一段时间的普通立方体。如果你在5 月1 日用12 根铁丝做成一个立方体，一个月后把它拆掉。那么，这个立方体的每个顶点都应看做沿时间方向有一个月那么长的一条线。你可以在每个顶点上挂一本小日历，每天翻过一页以表示时间的进程。
现在要数出四维形体的棱数就容易了（如图28）。在它开始存在时有12 条空间棱，结束时还有这样12 条。另外又有描述各个顶点存在时间的8 条“时间棱”。用同样方法可以数出它有16 个顶点，5 月1 日有8 个空间顶点，6 月1 日也有8 个。用同样方法还能数出面的数目，请读者自己练习数一数。不过要记住，其中有一些面是这个普通立方体的普通正方形面，而其他的面则是由于原立方体的棱由5 月1 日伸展到6 月1 日而形成的“半空间半时间”面。
这里所讲的有关四维立方体的原则，当然可以应用到任何其他几何体或物体上去，无论它们是活的还是死的。
具体地说，你可以把你自己想像成一个四维空间体。这很像一根长长的橡胶棒，由你出生之日延续到你生命结束之时。遗憾的是，在纸上无法画出四维的物体来，所以，我们在图29 上用一个二维扁片人为例来表现这种想法。这里，我们所取的时间方向是和扁片人所居住的二维平面垂直的。这幅图只表示出这个扁片人整个生命中一个很短暂的部分，至于整个过程则要用一根长得多的橡胶棒来表示：以婴儿开始的那一端很细，在很多年里一直变动着，直到死时才有固定不变的形状（因为死人是不动的），然后开始分解。
如果想要更准确些，我们应该说，这个四维棒是由为数众多的一束纤维组成的，每一根纤维是一个单独的原子。在生命过程中，大多数纤维聚在一起成为一群，只有少数在理发剪指甲时的离去。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解也应考虑为各纤维丝向各个方向飞去（构成骨骼的原子纤维除外）。
在四维时空几何学的词汇中，这样一根表示每一个单独物质微粒历史的线叫做“世界线” *（时空线）。同样，组成一个物体的一束世界线叫做“世界束”。
图30 是一个表示太阳、地球和彗星的世界线的天文学例子。如同前面所举的例子一样，我们让时间轴与二维平面（地球轨道平面）垂直。太阳的世界线在图中用与时间轴平行的直线表示，因为我们认为太阳是不动的①。地球绕太阳运动的轨道近似于圆形，它的世界线是一条围绕着太阳世界线的螺旋线。彗星的世界线先靠近太阳的世界线，然后又远离而去。
我们看到，从四维时空几何学的角度着眼，宇宙的历史和拓扑图形融洽地结合成一体；要研究单个原子、动物或恒星的运动，都只需考虑一束纠结的世界线就行了。
二、时空当量
要把时间看作和空间的三维多少有些等效的第四维，会碰到一个相当困难的问题。在量度长、宽、高时，我们可以统统用同一个单位，如英寸、英尺等。但时间既不能用英寸，也不能用英尺来量度，这时必须使用完全不同的单位，如分钟或小时。那么，它们怎样比较呢？如果面临一个四维正方体，它的三个空间尺寸都是1英尺，那么，应该取多长的时间间隔，才能使四个维相等呢？是1秒，还是1 小时，还是一个月？1 小时比1 英尺长还是短？
乍一看，这个问题似乎毫无意义。不过，深入想一下。你就会找到一个比较长度和时间间隔的合理办法。你常听人家说，某人的住处“搭公共汽车只需20 分钟”、某某地方“乘火车5 小时便可到达”。这里，我们把距离表示成某种交通工具走过这段距离所需要的时间。
因此，如果大家同意采用某种标准速度，就能用长度单位来表示时间间隔，反之亦然。很清楚，我们选用来作为时空的基本变换因子的标准速度，必须具备不受人类主观意志和客观物理环境的影响、在各种情况下都保持不变这样一个基本的和普遍的本质。物理学中已知的唯一能满足这种要求的速度是光在真空中的传播速度。尽管人们通常把这种速度叫做“光速”，但不如说是“物质相互作用的传播速度”更恰当些，因为任何物体之间的作用力，无论是电的吸引力还是万有引力，在真空中传播的速度都是相同的。除此之外，我们以后还会看到，光速是一切物质所能具有的速度的上限，没有什么物体能以大于光速的速度在空间运动。
第一次测定光速的尝试是著名的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei）在17 世纪进行的。他和他的助手在一个黑沉沉的夜晚到了佛罗伦萨郊外的旷野，随身带着两盏有遮光板的灯，彼此离开几英里站定。伽利略在某个时刻打开遮光板，让一束光向助手的方向射去（图31a）。助手已得到指示，一见到从伽利略那里射来的光，就马上打开自己那块遮光板。既然光线从伽利略那里到达助手，再从助手那里折回来都需要一定时间，那么，从伽利略打开遮光板时起，到看到助手发回的光线，也应有一个时间间隔。实际上，他也确实观察到一个小间隔，但是，当伽利略让助手站到远一倍的地方再做这个实验时，间隔却没有增大。显然，光线走得太快了，走几英里路简直用不了多少时间。至于观察到的那个间隔，事实上是由于伽利略的助手没能在见到光线时立即打开遮光板造成的——这在今天称为反应迟误。
尽管伽利略的这项实验没有导致任何有意义的成果，但他的另一发现，即木星有卫星，却为后来首次真正测定光速的实验提供了基础。1675 年，丹麦天文学家雷默（Olaus Roemer）在观察木星卫星的蚀时，注惫到木星卫星消失在木星阴影里的时间间隔逐次有所不同，它随木星和地球之间的距离在各次卫星蚀时的不同而变长或变短。雷默当即意识到（你在研究图31b 以后也会看出），这种效应不是由于木星的卫星运动得不规则，而是由于当木星和地球距离不同时，所看到的卫星蚀在路上传播所需要的时间不同。从他的观测得出，光速大约为185 000 英里每秒。难怪当初伽利略用他那套设备测不出来了，因为光线从他的灯传到助手那里再回来，只需要十万分之几秒的时间啊！
不过，用伽利略这套粗糙的遮光灯所做不到的，后来用更精密的物理仪器做到了。在图31c 上，我们看到的是法国物理学家斐佐（Fizeau）首先采用的短距离测定光速的设备。它的主要部件是安在同一根轴上的两个齿轮，两个齿轮的安装正好使我们在沿轴的方向从一头看去时，第一个齿轮的齿对着第二个齿轮的齿缝。这样，一束很细的光沿平行于轴的方向射出时，无论这套齿轮处在那个位置上，都不能穿过这套齿轮。现在让这套齿轮系统以高速转动。从第一个齿轮的齿缝射入的光线，总是需要一些时间才能达到第二个齿轮。如果在这段时间内，这套齿轮系统恰好转过半个齿，那么，这束光线就能通过第二个齿轮了。这种情况与汽车以适当速度沿装有定时红绿灯系统的街道行驶的情况很类似。如果这套齿轮的转速提高一倍，那么，光线在到达第二个齿轮时，正好射到转来的齿上，光线就又被挡住了。但转速再提高时，这个齿又将在光束到达之前转过去，相邻的齿缝恰好在这适当的时刻转来让光线射过去。因此，注意光线出现和消失（或从消失到出现）所相应的转速，就能算出光线在两齿轮间传播的速度。为减低所需的转速，可让光在两齿轮间多走些路程，这可以借助图31c 所示的几面镜子来实现。在这个实验中，当齿轮的转速达到1000 转每秒时，斐佐从靠近自己的那个齿轮的齿缝间看到了光线。这说明在这种转速下，光线从这个齿轮到达另一个齿轮时，齿轮的每个齿刚好转过了半个齿距。因为每个齿轮上有50 个完全一样的齿，所以齿距的一半正好是圆周的1/100，这样，光线走过这段距离的时间也就是齿轮转一圈所用时间的1/100。再把光线在两齿间走的路程也考虑进来进行计算，斐佐得到了光速为300 000 公里每秒或186 000 英里每秒这个结果，它和雷默考查木星的卫星所得到的结果差不多。
接着，人们又用各种天文学方法和物理学方法，继两位先驱之后做了一系列独立的测量。目前，光在真空中的速度（常用字母c 表示）的最令人满意的数值是
c = 299 776 公里／秒
或
c = 186 300 英里／秒。
在量度天文学上的距离时，数字一般都是非常大的，如果用英里或公里表示，可能要写满一页纸，这时，用速度极高的光速作为标准就很便当了。因此，天文学家说某颗星离我们5“光年”远，就像我们说某地乘火车需要5 小时一样。由于1 年合31 558 000秒，1 光年就等于31 558 000 × 299 776 = 9 460 000 000 000 公里或5 879 000 000 000 英里。采用“光年”这个词表示距离，实际上已把时间看作一种尺度，并用时间单位来量度空间了。同样，我们也可以把这种表示法反过来，得到“光英里”这个名称，意思是指光线走过1 英里路程所需的时间。把上述数值代入，得出1 光英里等于0.000 005 4 秒。同样，“1 光英尺”等于0.000 000 001 1 秒。这就回答了我们在上一节中提出的那个四维正方体的间题。如果这个正方体的三个空间尺度都是1 英尺，那么时间间隔就应该是0.000 000 001 1 秒。如果一个边长1 英尺的正方体存在了一个月的时间，那就应把它看作一根在时间方向上比其他方向长得非常多的四维棒了。
三、四维空间的距离
在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问：在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解？要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。
事件Ｉ：1945 年7 月28 日上午9 点21 分，纽约市五马路和第五
十街交叉处一层楼的一家银行被劫。
事件Ⅱ：同一天上午9 点36 分，一架军用飞机在雾中撞在纽约第三
十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的墙上（图32）
这两个事件，在空间上南北相隔16 条街，东西相隔半条街，上下相隔78 层楼；在时间上相隔15 分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离（图32 右下角）。为此，必须先把各个数据化成相同的单位，比如说用英尺表达出来。如果相邻两街南北相距200 英尺，东西相距800 英尺，每层楼平均高12 英尺，这样，三个坐标距离是南北3200 英尺，东西400 英尺，上下936英尺。用毕达哥拉斯定理可得出两个出事地点之间的直接距离为
如果把时间当作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3360 英尺和时间距离15 分钟结合起来，得出一个表示两事件的四维距离的数来。
按照爱因斯坦（Albert Einstein）原来的想法，四维时空的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定理进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用，比单独的空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。
要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用同一种单位表达出来，正如街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样。前面我们已经看到，只要用光速作为变换因子，这一点就很容易办到了，这样，15 分钟的时间间隔就变成800 000 000 000“光英尺”。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广，即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间的和一个时间的）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。
然而，任何人——包括了不起的爱因斯坦在内——也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌子闹钟来！（图33）！
因此，我们在使用毕达哥拉斯公式将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。按照爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数学表式中，空间距离与时间间隔的物理区别可以在时间坐标的平方项前加负号来加以强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然，首先得将时间坐标化成空间单位。
因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算：
第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”，而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了，比如说，第一个事件是1946 年7 月1 日上午9 点整在比基尼岛上有一颗原子弹爆炸，第二个事件是在同一天上午9 点10 分有一块陨石落到火星表面；这样，时间间隔为540 000 000 000 光英尺，而空间距离为650 000 000 000 英尺，两者大小相当。
在这个例子中，两个事件的四维距离是：
在数值上与纯空间距离和纯时间间隔都很不相同了。
当然，大概有人会反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不像对其他三个那样一视同仁呢？千万不要忘记，任何人为的描绘物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合里的表现确实有所不同，那么，四维几何学的定律当然也要按它们的本来面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使爱因斯坦的时空几何公式看来跟学校里所教的古老的欧几里得几何公式一样美好。这个方子是德国数学家闵可夫斯基（Hermann Minkovski）提出的，做法是将第四个坐标看作纯虚数。你大概还记得在本书第二章讲过，一个普通的数字乘以
就成了一个虚数；我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。于是，根据闵可夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以
。这样，原来那个例子中的四个坐标就成了：
第一坐标：3200 英尺，第二坐标：400 英尺，第三坐标：936 英尺，第四坐标：8 × 1011i 光英尺。
现在，我们可以定义四维距离是所有四个坐标距离的平方和的平方根了，因为虚数的平方总是负数，所以，采用闵可夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表式在数学上是和采用爱因斯坦坐标时似乎不太合理的表式等价的。
有一个故事，说的是一个患关节炎的老人，他问自己的健康朋友是怎样避免这种病的。
回答是：“我这一辈子每天早上都来个冷水浴。”
“噢”前者喊道，“那你是改患了冷水浴病啰！”
如果你不喜欢前面那个似乎患了关节炎的毕达哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虚时间坐标这种冷水浴病。
由于在时空世界里第四个坐标是虚数，就必然会出现两种在物理上有所不同的四维距离。
在上面那个纽约事件的例子中，两个事件之间的空间距离比时间间隔小（用同样的单位），毕达哥拉斯定理中根号内的数是负的。因此，我们所得到的是虚的四维距离；在后一个例子中，时间间隔比空间距离小，这样，根号内得到的是正数，这自然意味着两个事件之间存在着实的四维距离。
如上所述，既然空间距离被看作实数，而时间间隔被看作纯虚数，我们就可以说，实四维距离同普通空间距离的关系比较密切；而虚四维距离则比较接近于时间间隔。在采用闵可夫斯基的术语时，前一种四维距离称为类空间隔，后一种称为类时间隔。
在下一章里，我们将看到类空间隔可以转变为正规的空间距离，时距也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个是实数，一个是虚数，这个事实就给时空互变造成了不可逾越的障碍，因此一根尺子不能变成一座时钟，一座时钟也不能变成一根尺子。
