第2章 抢凳子游戏中必要的数学分析

一个人的行为影响其他人的行为的一个典型例子就是打电话一。个电话导致另外一个电话。有人可能会回电话，有人从这个电话中知道了新的信息，于是再打电话告诉其他人，或者一个电话可能促成了某些事情的发生一。每个读到此处的人都可以回忆一下最近几天接过的一个电话，它使我们打了一个或者更多电话给其他人。

这种行为值得研究。毫无疑问，我们可以发现有的人打电话高度依赖于他们所接到的电话，而有的人打电话则是比较独立的。有些人打出的电话远多于他接到的电话，而有些人接到的电话多于他们打出的电话。我们可以根据人们对于所接电话的回应比例来对他们进行分类。

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我们也可以以国家为一个单位计算这个比例（这里不考虑国际长途，因为我们无法从其他国家获得所需要的数据）。为了避免概念上的一些混淆，我们应当定义“打出电话”和“接入电话”。有两种途径使这个比例数据很容易获得。一种途径是电话公司可能有通话记录。另一种途径是我们不需要从电话公司获得任何数据，但可以根据这样的逻辑推算出来，即除了偶然情况，一般不会有打出电话的数量正好与接入电话的数量相等的人，但是我们所有人整体上接电话和打电话数量是完全相等的。

我们必须小心谨慎地把接到一个电话或打出一个电话计作一个或多个通话。如，圣诞节打给祖父母的电话记成一个通话，也可以记成几个通话，只要两边一致，结果都是一样的。分机之间的转接可以只记一次，也可以记两次，但在接收两端要一致。如果我们把所有人定义为一个封闭的系统，那么这个系统打出的电话和接入的电话数量是完全一样的。

尽管送圣诞卡与打电话出于不同的动机，送出的圣诞卡主要是刺激了贺卡的回赠，实际上它与打电话是同样的现象。（我偶尔会打电话叫计程车，但是计程车从来不会打电话给我；收到我赠送的圣诞卡的人，多数人都会回赠——虽然我通常记不得到底是谁最先送的。）有些贺卡我们没有回赠，有些人收到了别人的贺卡，但是却忘了或者不愿意回赠给他。有些人送出的贺卡比我们收到的多，而有些人收到的贺卡比我们送出的多。如果我们对人们进行调查，到底送出的贺卡没有得到回应的情况多，还是收到意外贺卡的情况多，答案可能是因人而异的，但是对邮政系统中的每个人来说，这两种情况出现的频率必须是完全相等的。对每一张不是相互发送的贺卡，送出者都没有得到回应，而接收者也没有回应。

从人们对电话的反应方式与对圣诞卡的反应方式中似乎很难找到什么重要的含义。之所以以这种方式开始本章的内容，是因为一些重要的行为都有这样的特征，如果把这一特征放在电话联系这个人们熟悉的事情上，大家可能更容易理解一些。事实上，要是说接入电话等于打出电话，是打电话这种行为的一个特征，这可能是不正确的——因为这种观察方式没有对人的行为做任何研究。无论人们的行为是什么——或者拒绝接电话，或者在周日从不打电话，或者答应给别人回电话却从不回，或者把每一点流言飞语都通过电话告诉给其他人——无论有多少人按照接到的电话来派遣出租车和救护车，也无论人们是否传递电话，总体来看，我们接入的电话与我们打出的电话是一样多的。这个结果和人们的行为没有任何关系。

这和电话通话的结构有关系：每一次严格定义上的通话都有一个打出方和一个接入方。（这里用限定语“严格定义上”的目的仅仅是为了排除掉计数上的不一致性。如果是为了其他的目的，比如配置电话分机，其他的限定语就会更有意义，并且计数结果也不一样。）打出一个电话和接入一个电话是不一样的；对记账来说，“打出电话”和“接入电话”也是不一样的，但是一个完善的记录系统应该在一个复式记账系统中对每个电话进行记录，每列一个数字，这样在“有操作性的定义”下对双方事件的记录就应该是一样的。

这个电话的例子是一类重要命题的实例：总体上正确的命题在细节上可能并不正确，并且总体上的正确性独立于人们个体行为的人数。这一命题对于一个封闭的行为系统是正确的，但是对于每个人的行为则不是，甚至对于任意一个比整体小的集体，这一命题也并不成立。有些这样的命题是显而易见的，不用我在此指出来。毫不奇怪，在波士顿，所有大小为8号半的运动鞋中，左鞋的数量与右鞋的数量基本上完全一致。不太明显的是如果把美国作为一个整体，那么骑着偷来的自行车的人数与丢自行车的人数是相近的。（我们允许两个数字之间有一定的差异，是因为被盗的自行车可能是在运输途中，或者在偷的时候被损坏了，或者骑到一定程度磨损了，或者偷来的自行车又被偷了。）

在社会科学中，经济学是这种起主要作用的学科。原因是显而易见的：经济学主要研究等值物品之间的交换问题。如果我买了一辆自行车，我得到了一辆自行车但失去了150美元；商店失去了一辆自行车但得到了150美元。商店将其中的90美元给了批发商以补充一辆自行车，40美元用来支付房租、工资和水电，20美元是商店自己的收益。如果我以同样的方式分析90美元批发的自行车，它可以细分为要组装的零件，装配商店的工资、租金和水电等。支付的电费又分解为燃料费、工资、发电厂的利息、红利、税金等。如果我们这样一直细分下去，我们会发现从我购买自行车的150美元中所获得的收益，包括收入、利润和所得税在内，其总和正好是150美元。

为什么这些收益加起来的结果“必须”是150美元，收益和税收的定义与这个重要的数字性结论有什么关系，除非你研究过国民收入核算，否则并不是显而易见的。我倒希望这个结论不是那么显而易见，因为我认为，多数命题都不是一眼就能理解的，有些甚至读第二遍也未必能理解。

在经济学中这种“会计报表”是分析收入和增长、货币和信贷、通货膨胀、贸易收支平衡、资本市场和公共债务的基础。它们通常都不是浅显易懂的，尤其是对于那些从事这方面工作的人（相对于那些经常进行数据整理和分析的人来说）。这种情况就好像是抢凳子游戏一样，在不同的房间里都有参加者和凳子，人们可以单独行动，也可以以组为单位，人们不容易发现搬走的凳子，有时新参与者和新凳子会加进来。每个人只知道，要是他不够快，那么在音乐停止的时候他将抢不到凳子坐下，于是，就要被淘汰出局。人们在游戏中对行动较慢的人会很不耐烦，因为我们知道凳子的数量始终比参与者的人数少。无论游戏如何进行，音乐停止的时候必然会有人没有座位，这个数字丝毫不受参与者积极程度的影响。如果我们不停地加入与淘汰出局的人数量相等的新参与者，补充参与者人数而不搬走凳子，我们可以计算出每个人因为抢不到凳子被淘汰出局之前能参加多少轮游戏的平均数。就算有人玩得非常好一直都没有被淘汰，或者有人第一轮就被淘汰了，这个平均数在数学上也是预先确定了的。

我们在经济学中要处理的典型问题与许多社会科学一样，也是反馈系统问题（feedback system）。“反馈循环”就是这种问题的一个典型的例子，不管人们如何行动，这个循环都存在。系统一端的输出是另一端的输入。我们不能通过不花钱而变得更富裕，就像在圣诞节时我们可以使自己收到的礼品价值比送出的礼品价值更高，只要可以也能通过花较少的钱购买送给别人的礼品。

有时候像关于圣诞卡的命题这样直接的命题似乎很容易被忽视，就像股票市场的一天可能被称为大“卖”或大“买”(great“selling”or great“buying”）的一天那样。除非有人买你的股票，否则你将无法将手中的股票卖出去，同时，你也无法卖出你还没有持有的股票。同样，除非有人卖出他的股票，否则也没办法买进。人们通常都希望出现股票交易波动，这是无可厚非的，但是需要经常提醒我们自己的是，如果没有对等的购买行为，也不存在卖出“波动”，无论我们是否用这个词来称呼它。