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临界质量图解
临界质量模型可以用一组图形进行说明，在此我们将对其中的某些图形进行说明。我们假设对于某项活动——比如说，周六上午参加一个对某门课的非强制性的复习课——无论参加人数多少，总有一些人坚持定期参加，但是总有一些人从来不参加，但是多数人只在看到有足够多的人参加时才会选择参加。每个人对于“足够多”的概念定义不尽相同，它既可以是多到使人们感觉这个活动足够有趣，也可以是多到使人们觉得不参加活动不太合适。
对那些根据预期的参与人数决定是否参加活动的人，我们可以找到这样一个数字：就是正好能够促使这个人参加活动的最小人数。这个数字可以是一个绝对数，也可以是总人数的一定比例；如果我们把一个班的数字定为100，我们既可以把它看作一个人数，也可以看作一个百分比。如果有一部分人的决策不取决于其他人是否参加会议，那么参加的总人数一定比100少。我们把临界数字定为50，20，1，或75等，并制成表格，画出柱状图，每一个柱形的高度表示两个数字之间（比如20和25之间，25和30之间，等等）的临界人数。我们可以把这个柱形图转化为一条光滑的频率分布曲线。如果临界人数分布集中在某一个平均值周围，越趋近两个端点就越稀少，曲线的形状就类似于一个颠倒的钟形；如果群体是差异性的群体，而且他们的平均值集中于两个不同取值范围内，或者在两个极端值的端点，那么它们的频率分布曲线是一条双峰U形曲线。这条频率分布曲线与无条件参加会议的人数一起，构成了我们所要的图形。
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这个图形不过是将频率分布转换成了累积分布形式。累积形式表示，对于任意期望的参加人数，有多少人认为这个人数足够多。之所以称它为“累积”的形式，是因为对应于横轴上的任意一个点，都包括了原始分布中处于此点左边的所有人。比如，35这个点表示了所有临界数值不超过35的人，而45这个点既包括这些人，同时还包括了临界数值在35到45之间的人。100这个点表示如果每个人都会参加，所有人都会参加。因为参加人数的期望值越大，愿意参加会议的人数也就越多，这一累积性曲线向右边持续上升，或者至少不会下降，因为预计参加的人数越多，偏好参加的人也就越多。（如果有些人只有在预期到参加人数不太多时才会出席会议，他们偏好亲密而不是人群，我们就需要两条分布曲线，一条表示只要具备一定人数就能来参加会议的人，另一条表示到一定人数就觉得太多的人，累积曲线反映了两者之间的累积性差异，这条曲线可以是从左到右上升的，也可以是下降的。）
这条累积曲线在纵轴上的开始点表示，即使没有任何人参加，他们也会参加会议的人数，在0到100之间从左向右上升，包括了所有根据预期人数做出决策的人，横轴上的100记录了除了一定不会参加会议的人之外的所有人。
这条累积曲线的斜率与频率分布曲线的高度成比例，如果原始的频率分布曲线呈钟形，累积曲线在到达原始分布最大点之前斜率逐渐上升，此后斜率逐渐下降，我们通常将这种曲线称为S形曲线。
图3—1就是这样一条曲线。根据这条曲线，只有期望的参加人数达到一定数值，才会有人愿意参加活动，如果预计所有人都会参加，最终参加活动的人数是85，多数人的临界数值在总数的1/3和1/2之间。（作为这条累积曲线基础的频率分布，其高度与此曲线的斜率成比例，在总人数的45%处达到最大，包括了总人数的85%，并呈现出基本对称的分布；大多数人都集中在35%到55%之间。）45度直线作为参考，在这条线上的点纵坐标与横坐标相等，这条线使我们一眼就能看出对于那些要求特定的期望人数的人，实际参加人数究竟是多还是少。我们很快就能看出，如果预计有25个人参加活动，实际参加的人数却不到25人，因为25人这个点所对应的曲线位置位于45度线以下，但是如果预计有60个人参加活动，实际参加的人数却超过60人。
图3—1
假设因为上个星期有25人或30人参加活动，因此预计这个星期参加人数也是25人或30人。在这个预期人数上实际参加人数将只有12人，他们大多都会感到很失望，其中只有一两个人才愿意参加只有12个人参加的活动。到下一周我们可以预计几乎没人来参加活动，而再过一周就根本没有人来参加活动了。换一个假设，如果预计2/3的人会参加活动，那么实际来参加活动的人就会达到3/4，这比人们预计的人数要多，没有人感到失望，若是预计3/4的人会参加本次活动，那么更多的人就会出现，下个星期，如果预计有3/4的人参加，实际到场的人数会达到80人或更多。在接下来的一个星期，所有曾经参加过的人都会来参加活动。如果人们预期85人或更多人会来参加，那么85个人将会参加，没有人会失望，并且会一直持续下去。
在这里我们得出了两个稳定均衡点。一个是期望参加人数85人和实际参加人数85人，另一个则是0预期参加人数和0实际参加人数。低于40人的预期参加人数就会使有些人感觉不满意，并退出活动，从而引起其他人退出，这种情况持续发生下去，直至所有人都退出。任何超过40人的预期参加人数不仅能使参加活动的人感到满意，而且能够吸引更多的人来参加活动，从而持续提高参加活动的实际人数，吸引更多的参与者，直到全部85个人都参与进来。如果预期参与人数正好是40人，那么实际参加人数也是40人，但是在这个点上关于预期人数的任何一点变化都会吸引或者排斥一些人，从而使最终参与者的人数比例要么达到85%，要么降低到0。40人这个点是一个不稳定均衡点。
图3—2给出了另外三种可能性。C曲线表示无论出现什么情况都会有12个人参加活动：这条曲线与纵轴交于12人这个点，这12人可能会另外吸引几个人来参与，在16人或者18人处达到稳定均衡。如果预计参与人数是25人或30人，实际参与人数一定少于25人或30人，人们就会陆续退出活动，直到只剩下16人或18人。大约50%这个点是一个不稳定均衡点，而稳定均衡点在85人处。
C图3—2
A曲线描述了“逐渐没落”的研讨会模型，在这个模型中不存在临界质量。如果预期有一半人会参加会议，实际到场的会达到1/4；而如果预期有2/3的人会参加，那么就会有1/2的人参加；如果预期所有人都参B加，实际到场人数可能会达到2/3，而不是所有人都参加。在这个例子中没有可以自我持续的到会人数水平。
在B曲线中，临界质量不是问题，任意一个在0到70人之间的期望人数水平都会A吸引这么多或更多的人参与，参与人数趋向于整条曲线上的唯一的稳定均衡点，即曲线与45度线的交点。大于70人的期望水平是不能持续的，此过程最终会收敛到70人这个水平。
B曲线是一组代表模型，与临界质量模型非常类似，并且具有有趣的“乘数效果”。对于任何一条像B一样的曲线，我们可以思考一下，如果我去掉那些总是参加或增加那些以前从不参加的人，那么对均衡结果会有什么影响。具体地说，根据B曲线，如果25个原本无论如何都会参加活动的人之中，有12个人现在无法参加活动了，那会出现什么样的情况？他们的缺席使整条曲线沿着纵轴平行下移12个单位。（对纵轴重新划分，将原来的12人处定义为原点，并把45度线向上移动12个单位，就能得到新的曲线。）现在25人处是新的均衡点。这时有多达45人会不来参加活动，其中的33人是因为参加活动的人数减少了而不参加的。这个比例，45/12或3.75就是“乘数效应”。
乘数公式取决于曲线的斜率。尽管曲线的斜率是变化的，但是新曲线和原有曲线之间的平均斜率一样，即为：（45-12）÷45，或者是1-（12/45）。如果用S表示斜率，M表示乘数，那么S等于1-（1/M），且M=1/（1-S）。如果斜率是1/2，乘数就是2；斜率是1/4或3/4，乘数就是4/3或4。（斜率不能超过1，也不能像B曲线那样从上面穿过45度线。）
没有显示的是一个表示“拥堵”的曲线：期望人数越大，愿意参加的人就越少。这样一条曲线将起始于左边纵轴较高的一点，表明如果人们自己能拥有这一空间，那么有多少人愿意参加，它向右下方倾斜，表明期望人数越多，实际愿意参加的人数就越少。很明显，这条曲线与45度线只相交一次，产生单一稳定均衡点。
为了练习一下我们刚说的模型，我们举一个特殊的例子。假设在一个地方滑冰场里有两种滑冰的人：一种是少数的专业滑冰运动员，他们希望冰场上空无一人；另一种是业余的滑冰爱好者，他们既不喜欢冰场上人太多，也不喜欢人太少。我们用一条向右下倾斜的曲线来表示人数较少的专业群体，它跨过45度线，趋近左下方。同时我们用一个山形的累积曲线来表示人数较多的业余群体，它起始于横轴上偏右的某一点，然后逐渐上升并超过45度线，接着在越过某个点后开始下降，此时再多的预期人数已经不再对他们具有更大的吸引力。将两种人群结合起来，我们把两组人数相加，这样便得到一条表示与任何一个预期参加活动的人数水平相对应的愿意到场的人数的曲线，这条曲线左起纵轴的某个点，然后向下倾斜，在上升之前可能达到45度线，也可能没达到，最后穿过45度线，再向右上方倾斜。
如果曲线与45度线只有一个交点，向左下方倾斜的曲线在到达45度线之前就向上倾斜了，那么专业滑冰运动员根本就不会来滑冰。最初的专业运动员的人数足够吸引一些业余爱好者来滑冰，而他们又可以吸引更多的人，直到滑冰场上的人数多到对专业运动员来说已经完全没有吸引力为止。（如果这条曲线靠近纵轴的左边较低处呈现U形，这个曲线的形状就有一点像前面所说的B曲线。）值得注意的是，如果不存在专业运动员，那么0也是这个曲线的一个均衡点，因为如果冰场上人很少，业余爱好者也不愿意来滑冰。因此，专业运动员的存在，使滑冰场对业余爱好者来说具有了吸引力，而业余爱好者最终会将专业运动员挤出滑冰场。
换作另一种情况，如果人数和偏好使所达到的关于专业运动员的均衡水平远远不够吸引业余爱好者来参与，曲线一开始就会降到45度线以下，然后再向上倾斜，与45度线再相交，从而产生两个均衡点。在一个均衡点上，滑冰场上充斥着友好的业余爱好者，但是他们的人数太多太拥挤，不能吸引专业运动员的参与；而在另一个均衡点上，滑冰场上只有少数专业运动员，他们人数很少，滑冰场看起来冷冷清清，一般人都不愿意参与。当然，如果有一些社会上的滑冰爱好者做出了“错误的估计”，以为会有很多人来滑冰，他们就会兴冲冲地赶来，而且发现他们的预计是正确的，在第二天又会吸引更多的人来滑冰。
在前面谈到的有关讨论会的例子中，我们假设学生人数是固定的，但是对于不同大小的群体来说，影响人们决策的到底是总人口的比例，还是绝对人数呢？毫无疑问，对于某些行为来说，比如语言、时尚或者周末聚会，影响人们决策的是比例，而不是绝对人数，而对于另外一些行为——打桥牌、参加读书会，可能也包括周末聚会——影响人们加入或退出的是绝对人数。因此，我们的分析分两种情况，这两种情况是不相同的。
一个不同点在于，如果绝对人数是关键因素，并且如果它的影响是正的，从而使从事这项活动的人越多，那么吸引来的人就会越多，这样的活动对一大群人来说可能持续下去，而对于一小群人则不一定。
如果起作用的是人数比例——比如，是否抽烟、穿高领毛衫或说某种特定方言这样的行为，通常取决于多大一部分人有这样的行为——存在一种使人群分开或分化的可能性。如果人们容易受到周围人的影响——包括一起工作生活的人，一起玩耍的人，共进晚餐的人，同一所学校的人，同乘一辆公交车的人，同一所医院的病友，同一间牢房的狱友，等等，这种人群在某个范围内的聚集最可能表现出某种行为使其至少在这个范围内增加了其行为达到临界质量状态的可能性。让我们再看看A曲线，我们将曲线的上部分成两个部分，分界线是与纵轴上的50这个点相交的水平线。图的下半部分描述了一半人的行为——这一半人很容易受到其他人的影响而参加。现在先忽略图的上半部分，对这些人我们暂不考虑。其次，让我们对纵轴重新进行划分，将原来的50%记为100%。现在因为我们将纵轴压缩了一半，但是横轴保持不变，这样我们以前的45度线就变成了一条斜率为1/2的线，它是我们的矩形中的一条从左下角延伸到右上角的直线。这条直线与A曲线相交，交点右边的任何一点都表示现有人数超过了活动得以维持下去所需要的最小人数。
剔除了图中一半的人，尤其是剔除了一半最不可能参加活动的人，我们实际上使每个参加活动的人的影响力增加了一倍——因为他或她所代表的人的比例增加了一倍。现在我们得到两个均衡点，一个是没人参加活动，而另一个是所有人都参加活动。通过将总人数平均划分为两类，一类是容易受影响的，另一类是不容易受影响的，于是，我们得到这样一个结果：半数人口参加是可以维持的。
现在，让我们来看看B曲线上的大多数均衡。假设我们不希望太多人参加这种活动（比如吸烟之类的行为）。同样，我们还是通过在纵轴中间画一条水平线将人群划分成为容易受影响的和不容易受影响的两类。剔除图的下半部分，也就是容易受影响的一半人。将纵轴重新按0到100进行划分，并画出这一长方形中从左下角到右上角的斜线。这时整个曲线都在原来的45度线的下方；这种行为会逐渐消失，或者根本就不会开始。但是处于原图下半部分的人还在从事这样的活动，虽然他们无论如何都会继续这种行为，而且有接近2/7的人已经停止了这项活动。换一种情况，如果我们认为这种活动是有益的，而现在有两类独立的人群，一群人总是完全参加这种活动，而另一群人从不参加，将这两群人混合成为一个人群，就将会使参加这种活动的人又多20人左右。假设大一新生比较容易受影响，而大二的学生则不太容易受影响，两个班相互分开，各有50个人，大一新生参加周末课堂，大二的学生不参加，如果将两个班的学生合在一起，形成一个大班，或者两个班相互交换一半学生，结果会使大约20个大二的学生受到影响而去参加。
