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封闭模式中的其他偏好
对于周围人群年龄的一组偏好具有如下特征：如果“所偏好的中间年龄值”较高，那么一个人的年龄越大，平均年龄与受偏好的平均值越接近，平均年龄就越被偏好。这种简化了的偏好仅仅关注所在人群的算术平均年龄值；但事实上，很难说这样一个单一的统计变量如人口均值就是人们所关心的。不过，关于这个算术平均值的讨论可以作为我们的热身训练，以作为有教育意义的研究。
让我们用尽量简单的例子来说明我们所要讲的问题以及可能的答案。我将使用“年龄”一词，但是在这样的抽象层次上，任何其他一种测度都是可以的。（因为我们所要讨论的例子是用算术平均值作为一个重要的统计变量的，这隐含着用一个可供衡量的指标来描述人的某个特征。不过，对于一个均匀分布而言，中间值和均值是相等的。）
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假设有一个人群，他们的年龄均匀分布在0到100之间。同样，假设在同一楼层有两个房间——我们可以设想它们为同一楼层的两个餐厅，而且每一个人都可以自由选择进入他所选择的房间，并可转换到年龄中间值与他/她的偏好更接近的房间内。没有人关心自己在哪个房间，所有的人只关心跟什么年龄的人在一起。下面，我们可以尝试给出有关这些人的不同偏好结构。
（1）每个人都更愿意待在平均年龄和他自己年龄最接近的房间内。
（2）每个人都更愿意待在平均年龄比他自己年龄稍微大的房间内。更具体地说，每个人都希望所在人群的平均年龄和他自己的年龄有一个差额，这个差额是自己的年龄和这个人群中最高年龄（也就是100岁）之差的一定比例，而且此比例对任何人来说都是一样的，而不管其年龄是多大。（如果说这个比例是1/3的话，那么一个40岁的人希望进入其中所有人的平均年龄最接近60岁的那个房间。）
（3）每一个人都更愿意待在平均年龄比自己的年龄更接近人口平均年龄50岁的房间内。更明确地说，每个人都更愿意根据差别的某个固定比例选择平均年龄更接近50岁的房间。（如果这个比例是1/5的话，那么一个30岁的人更愿意待在一个平均年龄为34岁的房间内。）
稍作思考，我们就可以得出，任何稳定的分隔必须是以年龄为基础的，在一个房间内的所有人都在这个年龄之上，而在另外一个房间内的所有人都小于这个年龄。这样的话，我们就很容易处理第一种偏好情形：如果每一个人都希望所在房间内的人的平均年龄和他自己的年龄相仿，那么就存在一个50∶50的稳定均衡。假设初始状态是以40岁为界，那么第一个房间内的平均年龄为20岁，而另外一个房间内的平均年龄为70岁。每个介于40岁到45岁之间的人都希望到那个平均年龄较小的房间中去，从而提升两个房间的平均年龄：年龄较小的那个房间的平均年龄上升到22.5岁，而另外那个房间的平均年龄上升到72.5岁。在这种情况下，年龄介于45岁到47.5岁之间的人就会更偏好到年龄较小的那个房间去。这种情况一直会持续下去，直到两个房间的人以50岁为界时。
第二种偏好情形则更为复杂。每一个人都希望所在房间内的年龄平均值更接近于一个年龄值，它比他自己的年龄高出100减去本人年龄后的差额的一部分。如果每一个人都希望所在房间的年龄中间值比他本人年龄多出100岁减去他本人年龄后的差额的1/3，那就是说，一个25岁的人希望自己所在房间的年龄中间值接近50岁。假设两个房间的人的年龄以50岁为界，那么两个房间里的人的年龄中间值分别为25岁和75岁。25岁左右的人对于自己所在房间的年龄不在乎，但是30岁的人就不是不在乎，他们更希望自己所在房间的平均年龄接近于53岁。25岁以上的人都转移到那个平均年龄更大的房间里去了，使得两个房间内的平均年龄都有所降低。这一过程一直会持续到所有的人都聚集到一个房间里为止。（对于新生儿而言，理论上，他们的偏好值是33岁。他们更偏好于一个所有的人都在的年龄中间值为50岁的房间，而不是留在他们自己所在的年龄平均值为0岁的房间内。）
经过计算，我们可以得出，除非上面我们所说的比例（即我们参考公式中的参数）比0.25要小，否则就无法将人群稳定地划分在两个房间。如果比例小于0.25的话，那么这个稳定的划界年龄就是100(1-4a)/(2-4a），其中a指的是这个比例。比如说，如果这个比例是0.2的话，稳定的划界年龄就是16.7岁；如果比例是0.1的话，那么稳定的划界年龄就是37.5岁；当然，如果比例是0的话，那么我们以50岁作为划分的年龄界线。
这是一个“均衡分析”的例子。在这里，代数计算是比较基本的。我们应该考虑，应该选择一个什么样的比例，才能够使得在某个年龄（比如说30岁）上形成稳定的划分。只有当年龄较大的房间内的最年轻的人和年龄较小的房间内的最年老的人都对自己所处的环境比较满意时，这个划分才是均衡的。如果以30岁作为一个划界年龄，那年龄较小的那个房间内的平均年龄是15岁，而年龄较大的那个房间内的平均年龄是65岁，而15岁和65岁之间的中间年龄是40岁。如果一个30岁的人希望自己所在房间的年龄平均值在40岁以上，他将会去那个年龄较大的房间；而如果他希望自己所在房间的年龄平均值在40岁以下，那么他将会去那个年龄较小的房间；而如果他恰好希望自己所在房间的年龄平均值是40岁，那么他就无所谓了。所以说，以30岁作为划界年龄是稳定的，仅当30岁的人偏好40岁与他们自己的年龄差为100减去其年龄后的10/70时成立。
如果以0岁作为划分界线，那么就要求新生儿对于平均年龄为0岁和50岁的差距无所谓；他们肯定更偏好25岁，所以能够维持划分方式的最大比例应该是1/4。
为了得出计算公式，我们约定，处在划分年龄界线上的人，偏好于两个房间内年龄平均值的中间数。如果以年龄D作为划分两个房间的界线，那么年龄较小的那个房间的年龄平均值为D/2，而年龄较大的那个房间的年龄平均值为（100+D）/2。这两个年龄平均值的中间点为[D/2+(100+D）/2]/2，也就是25+D/2。年龄处在D上的人希望所在房间的年龄平均值超过D的年龄值为a×(100-D），他偏好的平均值与这两个房间的平均值的中点重合，即：
在上面提到的第三种偏好情况下，每一个人都希望自己所在的小群体的平均年龄数比他自己的年龄更接近整个大群体的平均年龄，这样的话，将存在三种可能。如果他所偏好的他本人年龄与大群体平均年龄之差的比例大于0.5的话，那么任何划分都将是不稳定的，每个人都会在同一房间内。如果比例小于0.5的话，将会得到稳定的划分；而如果比例刚好是0.5的话，那么任何年龄上的划分都是中性的均衡。
这些结果并不是一目了然的，但我们很快就可以知晓其中奥妙。我们注意到，不管用什么年龄划分，划分之后两个群体的平均年龄的中位数正好和50岁与划界年龄的平均数相等：[25+D/2]=(50+D）/2。比如说，我们以60岁作为划分界限，那么将可以得到两个群体，他们的平均年龄分别是30岁和80岁，两者的中值是55岁，正好是50岁和60岁的中位数。
如果以50岁作为划分界线，那么就没有人愿意改变自己所在的房间。正好是50岁的人无所谓；而每个人都更偏好于自己所在房间的平均年龄数，如果他超过50岁，那这个平均年龄数就是75岁；如果他低于50岁，则这个平均年龄数即为25岁。但是，如果划分两个房间的年龄是60岁，那么就会出现以下情况中的一种：
一种情况是，每一个人都更希望所在房间的平均年龄离自己的年龄更近，而不是离50岁更近。在这种情况下，等于划界年龄或在划界年龄附近的人都偏好年龄更大的房间的平均年龄。比如说，如果以60岁作为划分界线的话，那在60岁左右的人都会希望所在房间的平均年龄数能够更接近某一个比55岁更大的年龄。这样的话，这些人就会加入那个年龄较大同时人数也较少的群体，从而使这个群体的人数增加。在划界年龄上的人们总是会更偏好于加入那个平均年龄较小的群体，这种人口流动一直会持续到划界年龄变成50岁时。
另一种情况是，每个人都希望所在群体的平均年龄介于他们自己的年龄和50岁之间，但是更接近于50岁。在这种情况下，只要不是刚好以50岁作为划分界线，那么在划界年龄附近的人们就会更偏好于那个人数更多的群体的平均年龄。比如说，以60岁作为划分界线的话，他们就会更希望所在群体的平均年龄比55岁要小，因为与80岁相比55岁更接近30岁。所以他们会移动，在那个人数较少的、年龄较大的群体中的每一个人都跟着移动，因为年龄接近划界年龄的人总是希望自己能够加入那个人数较多而且年龄较小的群体。（百岁老人们则更愿意加入任何其他平均年龄为50岁的群体，而不是待在自己的老人群体中不动。）
这两种相对运动的分界线是人们对平均年龄刚好处于自身年龄和50岁的平均年龄上的偏好，在这种特殊情况下，处于分界线上的人们总是对两个均值无所谓，因为他们偏好的平均值是这两者的中点。这时任何分隔都是一种被称为“中性均衡”的例子请注意另外一。种可能情况。如果人们希望平均年龄更接近于50岁而不是他们自己的年龄，而实际上划界年龄又刚好是50岁的话，那就没有人会移动。这时没有一个人数“更大”的群体能吸引在分界线上的人们。但是如果年龄介于48岁到52岁之间的人恰好都进入了同一个房间，那么两个房间的平均年龄就会分别下降到24岁和74岁。这种情况下，敏锐的47岁的人就会移动到48岁的人所在的人更多且年龄更小的房间去，因为他更希望所在群体的平均年龄接近于74岁。46岁的人们也会随后而至。所以说，以50岁为界的年龄划分方式虽然是一种“均衡”划分方式——在这种划分方式下，除非有人先移动，没有人会移动到别的房间中去，但这是一种非稳定的均衡。任何偏离都会打破均衡，而这种均衡的破坏是不可以自我修复的，而且还会越来越恶化，导致越来越多的人离开原来的那个不稳定均衡。最后所形成的一个新的稳定均衡会使所有的人都聚集到一个房间内。这种最后的均衡是稳定的，因为任何人的离开都会使它再恢复过来。
