分离或不分离的最优性

前面我们所讨论的将人均衡分配到两个房间是否代表某种最优化的结果，或者是否会使福利最大化，或者是否会使集体偏好得到最大满足？我们不应该指望这一结果，因为在我们的这个模型中，没有人会去留意自己的行动会对他所加入的集体的平均年龄产生什么样的影响。

比方说，我们可以考察，最后形成的均衡分配是否使得最后形成的实际平均年龄和人们所偏好的平均年龄之间的差距之和最小化。当然，人们的满意度不一定与这个差距之和成比例，但是，如果确实如此，那至少我们也可以看一看人们偏好的平均年龄和他们达到的平均年龄之差的和是什么样的。

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假设参考年龄为100岁，那么，对于任何正值的a，最后在均衡分配下所形成的差距之和就不是最小化的。事实上，a越大，差距之和就越大。现在先来看一下当a等于0.25时的情况：所有的人都聚集在一个房间内。那么，如果我们迫使这群人中较老的那一半人在一个房间内，而将年龄较小的那一半人赶到另外一个房间内，情况会怎样？

待在年龄较大的房间中的每个人都会增加福利。50岁的人偏好的平均年龄是62.5岁，这个62.5岁正好是原来的平均值50岁和新的平均值75岁的中间值；在年龄较小的房间内，最年轻的1/3，即全部人口的1/6的人也会得到改进。他们更喜欢新的平均年龄25岁，而不是原来的50岁；年龄倒数第二小的1/6的人，也就是年龄介于16.7%到33.3%之间的人，他们的福利水平会下降。因为他们更希望所在房间的平均年龄是50岁，而不是25岁。不过，他们也不会主动地转移到那个年龄较大的房间里去，因为那个房间内的平均年龄是75岁。而他们无疑会更偏好于25岁。年龄倒数第三小的1/6的人，也就是从33.3%到50%的人，他们的福利也恶化了。只要有可能，他们就会更愿意搬到那个年龄更大的房间里去，因为在75岁和25岁之间作一个选择的话，他们会更愿意选择75岁。不过，对于所有这些人，如果我们能够计算一下分离前后每个人所偏好的平均年龄与实际平均年龄的差别的话，我们会发现分为两个房间减少了这个总和距离。事实上，如果把年龄最大的40%的人留在年龄较大的一个房间，而让年龄较小的60%的人去另外一个房间，这个总和距离将会实现最小化。[13]

以上分析表明，一个均衡的划分并不一定会导致最优结果。而且，它也提醒我们，一个人为强制性的划分，会使一部分人的福利增加，也会使另外一部分人的福利减少，尽管不会使他们主动离开；还会使一部分人不满意，而且可能的情况下他们会愿意主动离开。

注释

[13] 让60岁以上的老人在一个房间，而其他人去另外一个房间，和所有人都在一个房间的情况比较如下：60岁以上的人都赞成这种划分；40岁到60岁之间的人在那个年龄较小的房间，但是却更偏好于60岁以上的老人们所在的房间的平均年龄，也就是80岁（这个年龄段的人必须给予他们一定的动力，他们才愿意留在这个年龄较小的房间）；年龄介于20岁到40岁之间的人更偏好于原来的状态——所有人都聚集在一个平均年龄为50岁的房间内，但是当然也不会有兴趣转移到那个老年人集中的房间，因为后者的平均年龄高达80岁；年龄在20岁以下的年轻人更喜欢现在的新状态，即平均年龄为30岁，而原来的平均年龄为50岁。所以说，60%的人改善了福利，40%的人因此而降低了福利水平。相比待在一个房间内的状态，在分开以后，每个人离自己偏好的年龄平均数的平均差距缩小了6.67岁（小了1/3左右）。