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概念的扩展
这里有两个重要的概念问题。（1）周围选择非最优化决策的人越多，个人是否总是会获得效用改进？（2）无论其他人选择做出何种决策，个人的自我偏好是否总是会保持不变？
为了定义起见，我们暂时对以上两个问题给予肯定的回答，同时假设在这个问题中起到作用的只是人数（即不存在个体特性），并且所有人的收益排序对所有人都是一样的，我们可以对一个标准的多人囚徒困境（后面简称为MPD）作出如下描述：
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（1）有n个人，每个人都有相同的二元选择和相同的收益。
（2）无论别人如何选择，每个人都有一个偏好的选择；并且这个受偏好的选择也是其他人偏好的选择。
（3）无论一个人做出的选择是什么，周围选择不受偏好的决策的人越多，他就越能获得效用改进。
（4）对于某个比1大的数字k，如果排序等于或超过k的个人选择了不受偏好的决策，而剩下的人选择了受偏好的决策，那么那些选择了不受偏好的决策的人将比在所有人都选择受偏好的决策时获得的效用更大；但是对于排序小于他的人来说，这个结论不成立。
将以上四个陈述作为囚徒困境问题的可能扩展，我称之为MPD模型，我们立即可以发现，k是一个重要的参数。它表示任何能通过放弃最受偏好的选择而获得收益的群体的最小规模。这个最小的有组织的人群能为加入其中的人带来好处（尽管可能会对没有参加组织群体的人带来更大的利益），不过，他们很厌恶那些搭便车的人。
在一条从0到n的横轴上我们可以画出两条收益曲线。（在此，为了方便，我将n个人转换为n+1个人，这样对任何一个人，n表示他人的数量。）一条曲线表示受偏好的选择，这条曲线被认为左起于0点，并向右逐渐升高，可能渐趋平缓，但是不会下降。在这条曲线下方我们画出不受偏好的选择曲线，这条曲线起于0点之下，逐渐升高，与横轴相交于某一点，记做k。我们用L（“左”）来表示人们偏好的选择，用R（“右”）表示人们不偏好的选择。选择“右”的人数用横轴上任意一点与左端点之间的距离来表示。当横轴上的值为n/3时，即该点位于从左到右的1/3处时，这两条曲线表示对于某个人来说，当周围的人有1/3选择R，2/3选择L时，他选择L或R时获得的价值。
图7—2给出了符合这一定义的几条曲线。对这些曲线的唯一限制在于每幅图中的两条曲线的四个端点都像显示的那样与纵轴相交，并且每条曲线都向右逐渐升高，彼此互不交叉。将图7—2中的每一幅图与现实情况对应起来是一个很好的练习，我把这个任务留给读者。在其中的图A中选择R的劣势是一直存在的；在图B中选择R的成本随着选择R的人数增加而增加，选择L会比选择R获得更多的外部性收益。
对于不同的个人来说，选择R和选择L所带来的“价值”增加也许有共同的度量尺度，也许没有。对于气味、噪音以及其他外界刺激所产生的反应并不能在人群中进行累加。即使有共同的度量尺度——比如生病的频率、排队等候的时间损失、电话中的忙音——如果不加选择地进行加总，结果也可能是毫无意义的。即使不假设我的时间与你的时间具有同样的价值，那研究我们之间的时间损耗总量也是有意义的。通常情况下，如果对于不同个人的权重与他们对L和R的可能选择之间不存在所期望的相关关系一，个简单的总数就可以用L来代表某种适当n的加权和。图7—2中的虚线表示选择R和选择L的人所得到的总价值（或称平均价值）。在图的左端，每个人都选择L，总R价值（或平均价值）与L曲线重合。在图的右端，总价值则与R曲线重合。在横轴中点上，总价值曲线点正好位于L曲线与R曲线之间距离的中点上，而在1/3和2/3的分界点上，总价值则正好是从L曲线到R曲线之间距离的1/3与2/3的分界点。
图7—2
