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交叉曲线
为了使MPD适合这种更大的类别划分，让我们来看MPD中选择曲线为直线的情况——以图7—2中的B图为例——如图7—3那样将R曲线上移。R曲线穿过原本位于上方的曲线，L曲线不再是无条件的最优选择曲线。在图形的左部，仅有少数人选择R，R是受偏好的选择。如果我们假设进行了任意一种有序的调整，我们就能在两条曲线的交叉点处得到了一个稳定均衡。[18]如果多于这个数目的人选择R，L就会成为更好的选择，人们就会放弃R而选择L，直到这两种选择的价值相等。选择R的人越少，R就是一个越有吸引力的选择，人们就会放弃L选择R，直到R的优势消失为止。
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图7—3
这个均衡点不可能是集体最大化的点。如果有些原本选择L的人选择R的话，那所有人都会从中获益。选择R策略的人数沿着曲线上升；所有放弃L而选择R的人都将在R曲线上达到一个比他们原本所处的“均衡点”更高的点。（集体最大化可以在右端点之外的任何一点发生。）
那么这种情况与MPD有多大的不同呢？对所有人来说，两者所提供的均衡点都劣于当更多人选择R策略时的价值。
MPD与这种情况的区别仅在于，在MPD均衡点上，没有人选择R策略；而在交叉曲线情况下，两条曲线都向右上方倾斜，有人选择R策略。但是两者之间的这种区别并不是很明显。在两种情况下均衡都是无效的：如果更多的人选择R而不是都集中在均衡点附近，那所L有人都能获得更大利益。而在两种情况下集体最大化并不需要所有人都选择R策略。
（没必要要求所有人的汽车后备箱里都备有拖车链。每两辆车有一根拖车链就行了，两根拖车链并不比一根拖车链更好。表示“有拖车链”的R曲线应该是接近水平的；表示“没有拖车链”的L曲线起点基本上位于R曲线下方，逐渐弯曲并且穿过R曲线，渐趋右端点并变得与R曲线平行，两条曲线之间的垂直距离相当于拖车链成本。如果人们能够观察到汽车拖车链的使用频率并能做出相应反应，那么两条曲线的交点就是一个均衡点。因为“有拖车链”的曲线是水平的，所以均衡点正好相当于每个人都购买并准备了一根拖车链，但并不显优；集体占优点必须具备更大的拖车链使用频率，但不是百分之百。因为存在曲率，所以处在均衡点之下的拖车链数量所造成的不足对于选择L的人来说是非常严重的。）
在图7—3中，在图形右边，L策略受偏好（此时多数人都选择了R），而在图形左边，R策略受偏好（此时多数人都选择了L）。如果保持两条曲线都向右倾斜，并且相交，我们可以将两条曲线相互交换：这样我们得到在右边R策略受偏好，在左边L策略受偏好。这就是图4—2中所描述的情况。这里我们有两个均衡点，一个是全部人都选择R，另一个是全部人都选择L。右边的均衡点由于存在外部性，因此是更好的均衡点。但是，如果每个人都选择左边的均衡点，那么没人有理由选择另一个均衡点，除非选择这个点的人足够多，能够跨过曲线交点所形成的峰值。
在图7—4中，L可以用来表示携带可观察到的武器装备，而R则用来表示没有带任何武器。如果其他人都带了武器，那么我也会带武器，但是如果其他人都没带，那我也不会带。（这些可以用来表示核武器及“单个国家”吗？）武器的可观察性有两个影响。如果L和R与图4—2中所表示的一样，个人所带的武器被隐藏起来，或者说核武器仍处于秘密阶段，你就不知道自己位于曲线的哪一个点上——无论你面临的曲线是哪一条。更有可能的影响是，武器的可观察性将会改变收益——携带武器的风险和收益通常取决于携带的武器是否能够被明显地看出来。（即使武器本身不能被禁止，某些可靠的武器检查措施也可能会起一定作用。）
图7—4
注释
[18] 下面更精确地说明了均衡位置的计算。用X表示选择R的人数（X是整数）。L曲线和R曲线的线性表达式如下，L=aX+b,R=cX+d;当L=R时这两条曲线相交，即X=(d-b)/(a-c)。（因为L曲线更陡，并且左端点低于R曲线,所以分子和分母都是正数。）无论是从L变成R还是从R变成L都不能增加收益时,就实现了均衡。从L变到R增加了一个选择R的人数，所以第一个条件是aX+b≥c(X+1)+d;这等价于X≥（d-b+c）/（a-c），它表示从点c/（a-c）到交点右侧的点（d-b）/（a-c）之间的距离。从R变成L减少了一个选择R的人数，所以第二个条件是a（X-1）+B≤cX+d;这等价于X≤（d-b+a）/（a-c），它表示点a/（a-c）到交点右侧的距离。因此，X的均衡价值处于一个单位范围之中——这个范围的上限和下限之间距离为（a-c）/（ac）——也就是从点c/（a-c）到交点右侧的距离。在这一个单位范围内必然有X的唯一整数值。（除非这个范围的两个端点正好位于两个整数点上，在这种情况下就有两个不同的均衡值，这时个人可以在两个选择之间相互变换并且不改变他的收益或损失。）举例来说，如果L曲线的斜率是R曲线斜率的两倍，那么均衡值就位于交叉点右边一个或两个单位范围内。如果人口数量很大，那么均衡值与交叉点之间的距离就会非常小，在图上将无法反映出这个很小的距离。
