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第六章 体育运动与物理
跳水究竟有多难？
让我们来欣赏一下10米跳台跳水比赛。面容冷静、身形矫健的运动员站上10米跳台，陡然从平台上一跃而下，跳入水中。随后，裁判将为运动员评分。得分是基于几个因素综合起来的，其中主要项目包括跳跃的高度和跳跃的难度系数。在本文中我们只关注于跳水运动中的一个动作——旋转。我们将观察跳水运动员是如何实现旋转的，并分析旋转运动获得成功有哪些关键因素。
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首先，一次10米跳台跳水持续多时间？这个问题不太难回答。如果我们假设跳水运动员的垂直加速度是恒定的，那么我们就可以使用典型运动学方程来求解加速运动完成特定位移所需要的时间。以9.8m/s2的垂直加速度，完成10米跳台跳水运动需要1.42s的时间。可见，运动员纵身一跃，一眨眼的时间里一次10米跳台跳水就完成了。
那么角动量呢？大多数人没有意识到的是，一旦跳水运动员身体开始下落，角动量基本保持不变。什么是角动量？也许我们首先应该看看线动量（通常只是被称为“动量”）。
动量在大小上是一个物体的质量和速度的乘积。我只说“大小”，是因为动量是一个矢量，是一个有方向的量。为了让概念理解变得更简便，我会假设我们需要处理的只是这个量在大小上的变化。那么，你如何改变的物体动量的大小呢？总之，物体动量的变化是由于作用在物体上的合外力造成的。如果作用在物体上的合外力为0N，则动量是不会发生改变的。其次，“改变”是这里的关键概念。如果我们把这个原理应用于一个身体下落的运动员上，则垂直方向上的合外力确实改变了动量。当运动员下降，动量增加。
那么角动量呢？从某种意义上说，角动量和线动量很相像，不同之处在于前者处理的是旋转运动，也许对于这种运动而言更合适的称谓是“旋转动量”。角动量（我依旧使用其传统的称谓）还取决于两个要素：角速度和转动惯量122。
角速度是很容易理解，因为它是测量物体转动的一个度量。但是转动惯量又如何理解呢？如果把它称为“旋转质量”可能更具有意义，因为后者描述一种物体的固有属性，由于这种属性的存在使得物体的角速度难以改变。如何改变角动量？改变的方法不是运用一个合外力，而是需要一个净扭矩。
扭矩和力不同。在本文里我们不对扭矩展开太多。我只想说明一点，即对于跳水运动员而言，一旦身体离开跳台，扭矩就不复存在了。尽管跳水运动员身上始终存在一个地心引力，但它不会引起旋转。
让我稍作解释，我最喜欢的演示实验是惯性演示，在我给你演示完毕之后你可以自己来一遍。在这个演示中，我准备了两根PVC管，并把果汁盒贴住管子从而使得管子附加有一定的重量。
果汁盒贴在管子上的位置不同。其中一根上，两个果汁盒都靠近管子的中心；另外一根管子上两个果汁盒固定在管的两端。虽然这些物体的质量相同，但如果你手持在管中心，来回如拨浪鼓一般旋转起来，你会发现果汁盒在两端的那根管更难来回转动。所以，转动惯量不仅取决于质量，也取决于质量相对于旋转点的位置。质量离开旋转点越远，转动惯量则更大。
这跟跳水运动员有什么联系呢？在跳转过程中，跳水运动员要通过跳跃的力量使得自己的身体离开平台。以这样的方式，运动员身体的扭矩从零增加到一定的扭矩值。跳水运动员同时也成功地将身体旋转起来。现在假设跳水运动员想做一个团身抱膝三周的动作。跳水运动员应该如何在不到两秒钟的时间内完成这个动作呢？你不能改变的角动量，但你可以改变转动惯量。
通过拉动腿和手臂使得这些身体部位接近旋转点，转动惯量就减小了，角速度会增大。团身抱膝地越紧密则意味着旋转的速度更快。但你如何做到停止转动直接入水呢？你的转动是停不下来的，因为你的身体没有能力停下来。这时候要想停下来最好的办法就是重新摆直自己的身体，再次增加转动惯量并降低角速度。是的，这个动作要在一瞬间内完成，难度系数是很大的，但他们是奥运会跳水运动员，能够完成这样高难度动作。
人能拉动卡车吗？
现在的电视屏幕上充斥着让人眼花缭乱的节目“秀”，其中不乏一些声称自己是科学节目的，但也许它们真的只是一些娱乐节目罢了，根本算不上什么科学。我看过的众多所谓的“科学节目”中就有一个这样的节目，它美其名曰“运动科学”。很显然，我可不是这个节目的粉丝。虽然这档节目的图像制作堪称精良，但谈论运动原理的时候却缺乏了运动的“科学性”。
“运动科学”中有一集里描述了马肖恩·林奇123，他是一位美式橄榄球运动员，力大无穷。那期节目的主题就是把他的力量和卡车的力量相比较，并展示给观众看。在我的这本书里你自然是无法看到视频的，所以在此让我先简要介绍一下在这场特殊的表演活动中的一系列步骤：
●马肖恩·林奇的形象真是酷呆了（可能确实如此吧）。
●马肖恩·林奇身上配备了无线运动传感器，以测量他身体的一举一动，节目组还为他创建了身体的实时动画骨架。其实除了这个动画之外，那个传感器没有什么作用。
●马肖恩·林奇在一块人工草皮上拉一块585磅124重的雪橇，拉动的距离为5码（约合4.572m），耗时的大约11秒。节目组就使用这些数据来计算马肖恩·林奇的力量。
●然后，他们准备了一个由一个325马力的引擎发动的6700磅重的柴油车，在沥青马路上试图拉一块重达17000磅重的混凝土块。在进行这个比较试验之前，他们预先设定了卡车和混凝土块的重量之比，这个比率和马肖恩·林奇的体重和雪橇的重量之比是相同的。
●货车拉不动混凝土块，这个也许不奇怪吧。在试图拉动的时候，卡车只有一个车轮在旋转（他们甚至没有动用一辆四轮的卡车）。
上述就是整个一期的内容情节。
这一集在内容上有两个致命弱点。首先，功率。你是如何计算功率的？功率是做功的速度。所以，取那个人做的功的总量除以他需要做功的时间，你就可以得出功率了。如果一个人拉动某样物体，这个人所做的功将是拉力乘以物体移动的位移（前提是力的方向和运动方向一致）。
“运动科学”声称马肖恩·林奇身体每千克体重的功率为573W。他们怎么拿到这个数据的？起初，我还以为他们是把雪橇的质量和轮胎的质量（2600N）加到一起然后乘以距离4.6m，然后除以11s的时间算出来的。这样计算功率结果是1000W，因为马肖恩·林奇的体重大约为100kg，即每kg体重约10W。
真奇怪啊，这个数值和他们声称的每千克体重573W相差甚远，简直风马牛不相及。根据他们计算的结果，马肖恩·林奇总功率（根据运动科学）将达到57000W。这个数值之大简直是无稽之谈了。要接近这一功率值，他必须拉着这些重量的物体在11s内跑完两个足球场的距离。
即使马肖恩·林奇在5s内（我想通过缩短时间来帮助提高功率）拉动雪橇4.6m，他将不得不以62000N的力来完成这件事。我相信马肖恩·林奇的的确确是一个身强体健之人，但再强健也不可能有这样大的力气，所以我实在是不知道节目组是怎么算出这个超人功率的。
虽然以上问题我都解决了，我还想指出另一个谬误。功的大小取决于马肖恩·林奇施加在雪橇上的力，但请注意力的大小跟雪橇的重量其实不相干。任何人都可以移动一件重量为585磅重的东西。其实，我那个6周岁的女儿还能拉动一辆家用汽车呢。她在同龄人里可以算得上力量出众了，但如果车是在水平地面上，要拉动它也并非那么困难。只要确保有个成年人能待在车里及时刹车，千万别让汽车被拉跑了就行了。
如果没有太多的摩擦，即使是很小的力都可以改变物体的运动。要加速到特定速度也只需要一点时间就可以完成了。绝对不该使用整个汽车的重量来计算所作的功，因此计算功率则是错上加错之举，除非你是在垂直提起车辆。
那么，如何计算摩擦呢？让我们再回到马肖恩·林奇用雪橇拉动轮胎的那场“秀”。假设他在某一小段时间内他以恒定速度拉雪橇（这样一个假设非常合适）。那在这种情况下，雪橇上的合外力就必须为零。如果合外力不为零，雪橇就将加速。因此，作用在雪橇之上的是什么力？雪橇受到地球的地心引力和地面对雪橇的支持力。如果没有其它的力，这两个力大小是相等的。最后，还有一个力，即与马肖恩·林奇拉动方向相反的一个摩擦力。
如果马肖恩·林奇拉成一定角度，情形就有点复杂了。我暂且认为他拉力的方向和地板保持水平，大小等于雪橇受到的摩擦力。雪橇的摩擦力取决于两种材料（金属雪橇和人工草皮）界面间的相互摩擦以及地面对雪橇的支持力。
作用在马肖恩·林奇上的力呢？无论他对雪橇施加多大的力，雪橇都会原封不动的还给他。就马肖恩·林奇做受力分析，由于合外力必须为零，地面对他的摩擦力必须和他的拉力相等。但是请记住，这个结论仅限于绳子水平的情况下。如果他向上拉动绳子一点点，就会增加地面推他的力，这将反过来增加摩擦力。同时，这将减少地面对雪橇的支撑力，并减少地面对雪橇的摩擦力。你也必须考虑不同类型的地面与雪橇、鞋之间的接触面之间的摩擦系数问题。如果马肖恩·林奇穿着皮革鞋底的礼服鞋，不管他力量是多么强大他都不能拉动雪橇，相反，他还会滑倒。同样道理，如果雪橇底部覆盖着和真皮鞋子相同的防滑材料，他也会滑倒。他之所以会滑倒是因为雪橇上的摩擦力大于他的拉力。
在“运动科学”里，他们试图将马肖恩·林奇的力量和卡车的力量做对比。为了让对比显得更加公平合理，节目组希望找到一个与马肖恩·林奇拉雪橇的相称的动作来做进行比较。马肖恩·林奇拉的轮胎质量是其体重的2.6倍，于是，他们找来一个6700磅的卡车，拉动一个重量为卡车重量2.6倍约为17000磅重的物体。这样就显得很公平了，对吗？当然不是！首先，在卡车是停在沥青路路面上的，并且也是在沥青路上拉混凝土块的。第二，马肖恩·林奇拉动时轮胎是在转动的。这样的比较你认为能称其为相称吗？
为了和卡车每千克质量的功率相匹配，你甚至连手指头都不需要动一动。据视频里说该卡车具有325马力的发动机功率。除以卡车的质量，卡车的每千克质量的功率为80W。
节目最后想证明按单位质量（kg）计，马肖恩·林奇比一辆卡车力量更大。在短距离内这个说法可能成立。因为他的质量大约为100kg，他只需要产生800W就可以取胜了。但这是很困难的，但也许并非完全不可能。如果他在10s内能拉动雪橇移动4.6m，他将须以1739N的力来拉。这么大的力非一般人力可为，但理论上还是有一定可能性的。
你知道吗？其实你可以直接测量他拉雪橇的力。你需要做的就是把一把弹簧秤放在他和雪橇之间，再加上秒表，你就可以迅速方便地计算出你想要的数据了。当然，你的技术还没有办法跟节目一样制作出一个令人印象深刻的骷髅动画图形，但你却可以做一些内容精彩、真正的科学节目。
8.9m的跳远世界纪录受重力和空气影响有多大？
鲍勃·比蒙125于1968年创下了8.9m的世界跳远纪录。但是即使到现在，还有一些人认为，他之所以会打破该项目的世界纪录是因为比赛地点的缘故，他是在墨西哥城比赛的，那是一个海拔高于8000英尺的城市。他们提出这个说法的依据是，在墨西哥城里空气更稀薄，空气阻力更小。此外，墨西哥城离开地心距离更远，所以人受到的重力也较小。这些因素真的能起到这些作用吗？如果真有的话，这些因素有那么重要吗？
首先，让我们来看看引力。在地球的表面上，地心引力通常是物体的质量乘以重力场（g），其中g是约9.8N/kg。因此，1kg的物体受到地心引力的大小为9.8N（竖直向下）。
但是，如果你离开地球表面太远这种模式是不能运用的。引力是两个有质量的物体间的相互作用，而这种力的大小随着两个物体之间距离的增大而减小，这通常被称为引力的普遍规律，所有宇宙空间里的物体无一例外地遵循这个规律。根据引力模型，引力的大小正比于两个物体的质量乘积，反比于物体之间距离的平方。
如果计算地球表面的万有引力，你就会把地球的质量作为两个物体中一个的质量，把地球的半径作为物体之间的距离。按上述定义，最终数学的计算结果会是每千克物体受到的引力的值为9.8N，这一计算结果和我们的知识很相符，假如换用其他另外一个办法来计算万有引力，得到的数值也会是9.8。但如果用这两种方法分别计算，得出的结果并不一致，你会不会觉得不可思议？
如果位置不在地球表面呢？如果你正在海拔为2240m的墨西哥呢？在这样高的海拔的条件下，物体的重力应为其在海平面的99.93%。造成的区别不算很大，对，不算大，但难道足以影响到一项世界纪录的产生吗？
假如重力是所有要素中唯一一个起到决定性作用的，那么比较上述的海平面与海拔高度的重力是很有意义的。就表观重力而言126，也有其他两个因素要纳入考虑。首先，地球不是密度均匀的标准球体。如果你附近有一座山，即使你位于海平面，但山体的质量也会影响到你所在位置的引力场。
第二个考虑因素是地球的自转。位置越接近赤道，由于地球自转，该位置点的的转速也越快。墨西哥城是赤道上约19.5°，所以它的转动速度是相当快的。当然，如果你在一个圆周上进行运动，你就不是在惯性参照系127内了。为了把圆周运动也看作是一个惯性参考系（就像我们在地球表面一样），你就必须增加一个“假想”的力——离心力，其方向指向旋转轴的中心。离心力和实际重力一起纳入考虑，才是所谓的表观重力。
如果墨西哥城处在海平面位置，这个旋转运动将导致表观重力达到地球在未自转时99.69%的值。加上重力和自转效应，在墨西哥城的海拔位置的重力达到海平面在地球不自传条件下的99.62%，所以实际效果上并没有太大的区别。
好了，所以引力差异和自转效应似乎作用并不很大。那么其他因素呢？那么空气的密度呢？当你从地球表面逐渐远离，大气圈的密度逐渐降低。随着空气密度的降低，跳跃运动受到的空气阻力就会减小。
最常用的空气阻力模型认为一个运动的物体受到的空气阻力与物体的速度的平方成正比，与空气的密度成正比。如果你将空气的密度减小两倍，速度保持不变，空气阻力为原来的一半。
事实证明，空气的密度不是可以直接为之建模的物理概念，它就像“天气”一样复杂而捉摸不定，难以准确测量。但是，我们有一个简单的模型可以粗略地加以测定128。
使用该参考模型，我发现在海平面空气的密度是1.22kg/m3，与之相比，在2240m海拔处，空气密度只有0.98kg/m3。难道这个空气密度上的下降和引力一样对跳远有影响吗？
空气中物体受到空气阻力的运动不是一个简单的问题。是什么让它如此复杂？没有空气阻力，该物体的加速度将是恒定的。如果你思考一下简单的抛体运动就可以明白这点，在空中，只有一个力作用在物体之上：引力。这意味着垂直方向的运动具有恒定的加速度，而水平方向的运动有一个恒定的速度。为了解决这种类型的问题，所需要的数学知识不算困难。事实上，这个问题在几乎所有的高中层次的物理课中都是一个标准化的问题。
有了空气阻力就不一样了，空气阻力的大小则取决于物体的速度。当然，速度又取决于加速度，所以这里存在一个相互依存的循环圈。速度越大，空气阻力越大，加速度越大，速度的变化也更加大。这是一个十分棘手的问题。
有一个解决方案。方法就是创建运动的数学计算式。这个问题的解析解129（就像在没有空气阻力的情况下一样）是运用一些代数运算，或微积分。该解析解是什么，你通常会在介绍性的物理教科书内查看到的。对于数值计算，需要把整个运动过程按时间分割成一系列微小的步骤块。对于每个分步骤，你可以假定的力和加速度是恒定的。这就使得典型的、恒定加速度的解决方案会奏效。
分割的步骤越小，问题的解决则越有效。当然，如果你把整个跳远过程分割到长度为一纳秒，那么一秒钟的跳跃你将不得不为此计算10亿多次。如果分割为0.01s，你也将需要100次运算，即使这样也大大超过一个普通人的运算能力，极不合理。最好的办法是使用计算机，因为计算机只会埋头运算，很少能听到它们抱怨什么。
为了观察重力和空气密度的变化在多大程度上会影响一个跳远运动员，我们需要从一个基本模型入手。如果我们仔细观察一下比蒙那创纪录的一跳，我们可以得到关于初始速度的一些信息（假设没有空气阻力的）。从视频（通过计算帧数），我们知道比蒙在空中的时间为0.93s，水平方向的运动距离是8.39m，从而水平速度为10.1m/s。
我可以使用类似的方法来分析垂直运动，以确定所述初始垂直速度。比蒙的垂直速度大约是4.5m/s。现在我便可以使用这些水平和垂直速度，加上空气阻力和重力变化的影响。如果你把这3种情况的轨迹图画出来——没有空气阻力的海平面，有空气阻力的海平面，有空气阻力、重力稍降低的墨西哥城，你会注意到一些新的情况。三种情况之间的区别并没有多大，但有一个区别还是值得注意的：有空气阻力的海平面的跳远距离达到了8.89m，而有空气阻力、重力稍降低的墨西哥城的跳远距离达到了8.96m，后者较前者之间虽然只有7cm之差，但这一点距离就成就了世界纪录。就比蒙而言，无论他是在海平面还是在海拔达到5000英尺的地方跳，都是一样的。他以55cm打破了自己原有的纪录，取得了骄人的成绩。鲍勃·比蒙是一个实至名归的奥运冠军。
能用线性回归130来解释跳远世界纪录吗？
我们还有另外一种方式，可以考察鲍勃·比蒙在1968年夏季奥运会创造的跳远纪录。假设我以每次纪录被打破的日期与当日成绩对应作图，会得到如下这张男性运动员与女性运动员的散点图。
让我一直很惊讶的是世界纪录的推进几乎是以一种线性回归的方式进行的。让我从女性运动员的数据开始解读。为了让解读更具有说服力，我先找到能反应这些数据的函数，这一过程即是线性回归。
如果我能够找到代入这些数据的线性公式，我得到的函数如下：
sw（t）=（0.0314m/year）t+4.656m
这个线性模型和数据的吻合程度很高。如果你代入年份数据，这个模型很快就会为你预测该年份跳远的世界纪录（1967年为67，2012年为112）。公式里的4.656m呢？这个是由模型计算而得出的数据，反应的是1900年当时的运动员水平。显然，在那个年代还没有任何记录，因此我认为那时候人们的实际运动水平应该远不止于此。
这里还有一个很有趣的现象：我用这个模型推导出0.0m这个成绩产生的年代，结果公式给出的是1885年。没错，这个结果让人贻笑大方，这也就从侧面说明这只不过是一个简单的、并非万能的模型而已。
还有一个现象也值得注意：我同时也计算了一下反应这个线性模型与这些数据吻合程度的相关性系数。这些数据的相关性系数131为0.98。我们知道相关性系数为1.0的时候，数据与模型的吻合程度是最佳的。0.98说明了数据和线性模型之间的相关性非常高。
现在转而解读一下男性运动员的纪录。假设我找到一个可以覆盖掉除最后两个数据以外所有数据的函数，我注意到鲍勃·比蒙在1968年创造的纪录在图中仅次于最后一个纪录——1991年由迈克·鲍威尔创造的跳远纪录132。如果我把这两个数据予以忽略，我就可以暂时忽略掉鲍勃·比蒙那次超常规的比赛成绩。
假如忽略掉最后两个数据，你可以发现这条线性函数与前面的数据吻合程度很高。有了这个函数，我可以算出它的斜率为每年0.0116m，截距133为7.57m。
显然，如果把两人的纪录“舍弃”在函数之外，所有的数据都可以被这个函数纳入进来，并且可以做出这样预测：跳远成绩要达到8.95m将要到2018年才能被人类取得。
虽然这些模型中在大多数情况下都能够起到作用，但如果有时一种运动上的新技术一旦出现就可以完全改变模型。举个例子——著名的背越式跳高，跳高运动员的跳法是以垂直的方式跳过一根水平的杆子。在1965年以前，人类一直是使用普通的方法跳高，且效果不错。然而在1965年，迪克·福斯贝里134率先使用了背越式跳高技术，在动作上不再以面朝杆脚先着地的方式过杆，而是扭转身体让背部朝杆头先着地的方式过杆。他的这种新技术使他迅速打破了原先的世界纪录，同时也使得以前已经确立好的世界纪录产生趋势瞬间得以改变。
我不清楚比蒙和鲍威尔打破纪录是否使用了不同的跳高技术，但是他们各自都属于不同的阵营。让我们等到2018年来看看原来的模型是否还是具有预测的效果，因为根据模型，2018年该是有人出来打破鲍威尔纪录的年份。
最后，我们来观察一下男性纪录的斜率（0.0116米/年），女性的斜率（0.0314米/年）。两者之间差距巨大。女性运动员成绩新纪录产生的速度要远远快于男性运动员。如果两个模型仍然可以起到一定的预测效果，那还要多长时间女性的跳远能力才能和男性平起平坐呢？
我所要做的就是让男性与女性跳远的距离相等，然后求解出具体年份就可以了。这个问题很简单，是二元一次的方程组问题，所以我就不劳你费力计算了，我直接告诉你答案就可以了。
如果我把147年这个时间数值代入两个公式，两个公式最终显示的成绩都是9.27m。由于我设定当t=0代表1900年，所以这个纪录应产生于2047年。
当然，我自己也很怀疑到底这些模型能不能预测那么多年以后的未来。根据电影《终结者》135我们已经知道2029年整个地球都会受机器人统治，也许到了那个时候我们会决定让机器人来代替我们参加奥林匹克，那数据就得完全改写了。
十项全能如何统一计分标准？
在十项全能比赛里，运动员要参加10个赛事的争夺（所以有“十项”之说）。然而，会存在一个问题——多人同场竞技，每个人要参加10个之多的项目，他们之间如何一较高下？还有更成问题的问题：10项比赛中有4项是以秒计算的，其他6项则用米来计成绩。再有，即便是以距离为比拼的项目中也还有问题，因为要把跳远的距离拿来和标枪投掷的距离相比也是一件棘手的事情。
所以要怎么样才把这些成绩拿来相比？有一个办法就是提出一种公式，可以代入各种比赛的成绩，经过公式处理之后给出一个数值。为了公平起见，十个项目需要保证相互之间的权重相同。这个目标说起来容易，实行起来很难。然而，确实存在一个可以为每项比赛计算得分的一个公式，这个公式是这样的：
时间项目的比赛分值ST=A（B-P）C
距离项目的比赛分值SD=A（P-B）C
其中，P是比赛获得的成绩，A、B、C是分别是根据比赛不同而改变的常数。你可以观察到这里有两个不同的公式。对于时间项目比赛而言，时间越短分值越高，因为有某个常数减去这个时间，对于以距离长度取胜的比赛，情况恰好相反。
单位呢？没错，你第一眼看过去这的确像是一个麻烦，但事实却是你担心过度了。首先，让B和P的单位统一为秒或者米没有多大的意义，即便你这样做可以给B和P做减法（单位不统一无法进行减法）。如果你真的让B也有了单位，最终又要是一个无单位的数值，那常数A的单位就需要变得像米-1.81那么离谱（因为C可能是1.81）才能消掉单位。因此，我的建议是换一种方式，A设置成一个p/k形式，并令其中k变成1m。这样一来，你马上可以消掉这个单位了。
有一个关于十项全能得分的视频，非常有趣，它向我们展示了一个现象：对于任何一项很差的成绩，最终得出的分是你想都想不到的，比方说为一个负数开立方根。事实上，你得到的是一个很复杂的结果（其中一半是真，一半是虚的）。
很可惜，我很确定地说官方条例已经考虑到了这点，并且规定好了凭这种出奇的方式是无法取胜的。如果真的有谁能真的靠这个方式来赢得比赛，那倒真是一件奇事了。
到底哪个项目最为紧要？就像我刚才说的，我们的目标是让所有的比赛项目权重相当。但是，如果你以0.01s的微弱优势打破了世界纪录呢？这种情况下，你的分数怎么体现？还有，如果你以同样的0.01s时间打破的不是100米的纪录而是400米的纪录，得分又会有什么变化？对于你的总分而言是好是坏？
首先，还是让我们集中于一个项目来考察——跳高。不同的距离怎么得出不同的分数？世界跳高纪录是245cm。以下这幅图表示的是达到世界水平50%～105%区间内的分数情况。
对于这项世界纪录，达到的运动员能取得1244分。这个分数很可观，因为整个十项全能的分数也只有9000分而已。跳高这个项目很能说明问题，因为它的相关系数C不如推铅球项目的相关系数那样接近一个数值。
所有运动项目得分分布如何比较？有一个办法是拿比赛的成绩比上世界纪录，得到一个比值。这样，100米的世界纪录9.58s最终就是一个无单位的表现值：1.0。假如你以9.57s打破世界记录，你的表现值是1.001。如果你对其他项目也以同样的方式处理，所有的比赛成绩就可以相互比较了。
下面这张图展现的就是十项全能比赛的每一项成绩与得分之间的关系。请注意对于以时间项目比赛来说，花的时间越少，分数值越高，这也就是表示这种运动的线的斜率是负值的原因。
你从这幅图里能看出什么来吗？如果你能打破一项世界记录，你最佳的方式是把这项记录放在掷铁饼这个项目上，因为这个世界记录一旦获取将会给予你1382分，比较一下110米跨栏，你会发现打破世界纪录给你的比分只有1123分。
那成绩进步呢？你可以在距离和时间方面都取得了进步，选哪一种运动更划算？本质上，这是一个分析表现变化会导致分数相应变化程度的一个过程，这就意味着我要算每一个值的导数136。将导数代入两个公式（关于P），会得到：
当然，你可以代入A、B、C的值来决定分数的变化率。这个变化率不是一个常量，而是一个取决于运动员表现的值。所以每次计算你得代入不同的值，比如你的时间成绩和世界记录的时间成绩。然而，有一个更为简便的近似方法。以上项目的图里，在世界记录附近斜率最高的是哪项运动？对于时间项目运动而言，是100米短跑，对于距离项目来说是跳远。但请你记住，这张图体现的是基于世界记录的比赛成绩变化引起的得分变化。在100米短跑中取得5%的进步和1500米长跑中取得5%进步难易程度相同吗？也许不同吧。这也是为什么对于任何一个项目要想夺得高分没那么容易的原因。
为什么游得越快越难？
要拿第一名不易，要创记录则难上加难。让我们来分析一下一项特殊的运动——50m自由泳。
这个项目里，游泳运动员一般完成的距离是一个泳道那么长。比赛开始时他们一头猛扎入水中，过程中没有回头，除非运动员使用的是25m长的泳道。50m泳道与25m泳道对运动员的成绩是有影响的，就男子比赛而论，50m泳道的世界记录是20.91s，而25m泳道却是20.30s。显而易见，25m泳道的速度更快，因为运动员在掉头的时候利用泳池壁获得了一记强有力的反推力，这个现象非常有趣。
使用2009年塞萨尔·西埃洛137在巴西创造的男子记录，我可以轻易地算出他在比赛过程中的平均速度——他以20.91s的速度完成了50m，平均速度达到2.39m/s。
你可能选择不一样的单位来表达这个速度。如果是这样，这个速度也可以转换为5.3mph。当然，这也包括了在比赛一开始时运动员跳离运动台时的那个较高的速度。所以，50米自由泳奥林匹克运动员在水中的速度可能为2.2m/s。
话说回来，每个人都希望游得更快，但有什么办法可以做到呢？我们来想象一下一个运动员以匀速游泳的情景。在这个模型里，游泳运动员以恒定的速度运动，他身上的合外力必须为零（技术上讲，矢量为0）。在垂直方向上的力在本讨论中不重要，但是我还是要提醒一下这个“向上”的托举力是浮力和运动员运动导致的“升力”的合力。
其他的力包括运动员在水里运动与水碰撞发生的阻力。这是运动员不能全程加速的原因。阻力和速度有关，方向和运动方向相反。并且，运动员使用他们的手臂和腿部的力量在水中推进身体也造成一个推动力。
推力是运动员奋力运动或者使用能量在水中穿梭的结果，这是问题的关键。整个过程都可以用功率的概念来理解。其中一个计算功率的办法就是拿所做的功去除以时间。在此例中，功就是运动中施加的力（推力）乘以做功的距离。没错，功的概念实际比这个还要复杂一些，但这个定义在这里已经足够了（我刚才是想说这个定义能奏效，懂了吗？）。
如果你根据功的定义把功写成S与F的乘积，并代入到功率的表达式中，最终你会得出功率其实也等于速度V乘以力F，也就是说在游泳比赛过程中功率和实际完成的距离没有关系。
现在回到推力上。推力和阻力的大小是一致的。但根据阻力如何为推力建模？阻力在某种程度上和运动员的速率有关。要如何来为这个和速率有关的阻力建模呢？最好的办法是开展一个实验从而来确立测量的方法。对于这种情况，我假设阻力和速度是成线性相关。
如果推力取决于速度，功率是速度与力的乘积，那功率应该正比于速度的平方。因此，如果你想游泳的速度加倍，功率加倍是不够的，功率要达到原来的4倍才行。正如我所言，游泳游得快可真不简单。
现在我们来看一些数据。首先，在短程依靠爆发力的运动员的功率能达到多少？这个问题很难回答，因为答案取决于人运动的方式。并且，功率可不是一个轻轻松松就可以随便测出来的数据。这篇《实验室测量人在极限强度训练中的功率》138文章中，作者认为人在短时间内能爆发出的最大功率为1200W。如果我用这个数据，再加上西埃洛的创造的世界记录速度，我就能够得出阻力系数的值了（b）。阻力系数是计算功率时用在速率平方前的物理量，它是由运动员的形体、体型大小以及游泳服共同决定的。经过计算，我得出阻力系数约为248kg/s。
现在，假设你想要以2.21m/s的速度打破西埃洛的2.2m/s的记录。你的功率要达到多少才行？使用这个阻力系数，你的功率需要从原来的1200W增大到1210W。如果你只是看速度增加不过0.5%，但功率却增大了0.8%。你的教练也许会安慰你说这点进步你肯定能行，但当你真正在水中试图突破人体极限的时候，这个难度可真不是和你开玩笑的。这就是为什么要打破记录，特别是在游泳项目中会这么困难。
对于公路自行车赛而言，最陡的斜坡是多少度？
为什么自行车赛运动员会从自行车上下来推行？最近双海赛139中，全程有3个赛段中的坡度超过27%，这让很多运动员不得不从他们的自行车上下来推行上坡。没错，27%的坡对于一辆自行车而言已经是很陡的坡了。这就引出一个问题：你可以骑车上多陡坡度的斜坡？
我认为有两个原因使得斜坡过于陡峭。有很多种情况可以探究分析，但我假定斜坡之所以陡峭难上，首先因为这是一个长坡。你不可能积聚了很高的速度但在斜坡上维持这种疾行状态。如果你真可以做到的话，就可以直接骑车上墙了（当然很短一段时间内是可以的）。
首先我来观察一下人力所能到达的坡度极限。以下图片将有助于你分析：
在我们开始前，先来简单认识一下坡度这个概念。30%的坡度是什么意思？假如你沿坡上行，上行的竖直方向和水平方向长度比值再乘以100得出的值就是坡度。我们通常是以角度来表示坡度，但坡级本质上也是做了一件相同的事。我不确定国际上有没有通行表示坡度的字母，我就以r来表示，值等于高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度=（高程差/水平距离）×100%。
我们假设运动员以某个速度v前行。这个速度并不高，所以空气阻力不构成一个重要的考虑因素。要消耗多少能量才能以一个恒定的速度上坡？在此例中，我可以这样考虑：要消耗的能量等于自行车与运动员两者重力势能的变化量。整个过程中的能量变化涉及三个方面：自行车和运动员的质量、竖直方向的距离与我们称之为重力场的g。
当然，我关心的重点不是能量上的变化，我关心的是功率。功率的定义是能量的变化率（能量的变化与时间变化的比值）。你知道什么还有什么物理量取决于时间？没错，速度也取决于时间。因此，如果你把这两个量放在一个表达式内，功率就等于竖直方向上的速率与自行车的重力的乘积。你上行得越快，所需功率就越高，且路面越陡峭则速度对整体功率值的贡献越大。
如果只是移动自行车呢？功率是多少？当然，还有其他因素使得人要对自行车施力。车内部齿轮、踏板之间有摩擦力。不仅如此，运行中的轮胎也受到摩擦力和空气阻力的作用。但本次计算我要算出的最陡的坡度。运行的速度应保持缓慢，空气阻力可以忽略不计，其他因素产生的效应与爬坡所需的功率相比也很微小，故不用做考虑。
现在，我需要做一些估算来求解这个最陡坡度。假设运动员和赛车的质量和为75kg，运行的平均速度为2m/s。假如坡度为30°，功率要达到422W。这个功率可不是开玩笑的，我很肯定我也能产生422W的功率，但只能维持很短一段时间。
我的兄弟非常喜欢自行车。他告诉我他能以280W维持很长一段距离的骑行。你看我们能不能把这个平均功率增加到300W（你知道，专业自行车运动员肯定更厉害）？有了这个平均功率，只剩下两个关键因素了：速度与坡度。如果自行车运动员的速度只为1m/s，那么最陡的坡度就是45%。如果增加到4m/s，最陡坡度就下降到10%。
如果要我来设计一条自行车赛道，我不会让任何部分的坡度超过20%。如果超过20%，运动员倒不如下车推行来得更好。但请记住，这是一个自行车比赛不是竞走比赛。为什么在陡坡上行走反倒更容易？当你行走的时候，你的行进是不由速度决定的。你可以缓慢前行（功率因此也下降）不至于从车上掉下来。
现在，再来考虑另外一个问题：质心。对于一辆上坡的自行车，质心必然位于两个支持力的水平方向之间。在这种情况下，支持力就是两个轮胎与地面之间的接触部位产生的力。
这里有一张图表示的是自行车上山时的情况——当然，假如你爬坡，你的身体就会有点前倾。
有3个位置很重要。第一个是上面的点，代表车与人的质心。另外下面的两点代表轮胎与地面的接触点。最重要的一点是质心在后轮胎接触点之前。
斜坡要多陡才能使得质心刚刚好不超过后轮胎？让我做一番假设。我假设质心的高度是0.8m，质心离后轮胎接触点的距离是0.75m。这就意味着如果坡度为43°，质心就会直接移过后轮胎。稍微再陡一点，车手就会向后翻倒。如果你把这个坡度用百分比坡度表示，数值是93.7%。当然，我已经计算出来了，人力无论如何是无法骑行在这样一个陡坡之上的。
