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第 3 章 递归
本章内容
学习递归。递归是很多算法都使用的一种编程方法，是理解本书后续内容的关键。
学习如何将问题分成基线条件和递归条件。第4章将介绍的分而治之策略使用这种简单的概念来解决棘手的问题。
我怀着激动的心情编写本章，因为它介绍的是递归 ——一种优雅的问题解决方法。递归是我最喜欢的主题之一，它将人分成三个截然不同的阵营：恨它的、爱它的以及恨了几年后又爱上它的。我本人属于第三个阵营。为帮助你理解，现有以下建议。
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本章包含很多示例代码，请运行它们，以便搞清楚其中的工作原理。
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请用纸和笔逐步执行至少一个递归函数，就像这样：我使用5来调用
factorial，这将使用4调用factorial，并将返回结果乘以5，以此类推。这样逐步执行递归函数可搞明白递归函数的工作原理。
本章还包含大量伪代码。伪代码 是对手头问题的简要描述，看着像代码，但其实更接近自然语言。
3.1 递归
假设你在祖母的阁楼中翻箱倒柜，发现了一个上锁的神秘手提箱。
祖母告诉你，钥匙很可能在下面这个盒子里。
这个盒子里有盒子，而盒子里的盒子又有盒子。钥匙就在某个盒子中。为找到钥匙，你将使用什么算法？先想想这个问题，再接着往下看。
下面是一种方法。
(1) 创建一个要查找的盒子堆。
(2) 从盒子堆取出一个盒子，在里面找。
(3) 如果找到的是盒子，就将其加入盒子堆中，以便以后再查找。
(4) 如果找到钥匙，则大功告成！
(5) 回到第二步。
下面是另一种方法。
(1) 检查盒子中的每样东西。
(2) 如果是盒子，就回到第一步。
(3) 如果是钥匙，就大功告成！
在你看来，哪种方法更容易呢？第一种方法使用的是while
循环：只要盒子堆不空，就从中取一个盒子，并在其中仔细查找。
def look_for_key(main_box):
pile = main_box.make_a_pile_to_look_through()
while pile is not empty:
box = pile.grab_a_box()
for item in box:
if item.is_a_box():
pile.append(item)
elif item.is_a_key():
print "found the key!"
第二种方法使用递归——函数调用自己，这种方法的伪代码如下。
def look_for_key(box):
for item in box:
if item.is_a_box():
look_for_key(item) ←------递归！
elif item.is_a_key():
print "found the key!"
这两种方法的作用相同，但在我看来，第二种方法更清晰。递归只是让解决方案更清晰，并没有性能上的优势。实际上，在有些情况下，使用循环的性能更好。我很喜欢Leigh Caldwell在Stack Overflow上说的一句话：“如果使用循环，程序的性能可能更高；如果使用递归，程序可能更容易理解。如何选择要看什么对你来说更重要。”1
1 参见http://stackoverflow.com/a/72694/139117 。
很多算法都使用了递归，因此理解这种概念很重要。
3.2 基线条件和递归条件
由于递归函数调用自己，因此编写这样的函数时很容易出错，进而导致无限循环。例如，假设你要编写一个像下面这样倒计时的函数。
> 3...2...1
为此，你可以用递归的方式编写，如下所示。
def countdown(i):
print i
countdown(i-1)
如果你运行上述代码，将发现一个问题：这个函数运行起来没完没了！
> 3...2...1...0...-1...-2...
（要让脚本停止运行，可按Ctrl+C。）
编写递归函数时，必须告诉它何时停止递归。正因为如此，每个递归函数都有两部分：基线条件 （base case）和递归条件 （recursive case）。递归条件指的是函数调用自己，而基线条件则指的是函数不再调用自己，从而避免形成无限循环。
我们来给函数countdown
添加基线条件。
def countdown(i):
print i
if i <= 0: ←------基线条件
return
else: ←------递归条件
countdown(i-1)
现在，这个函数将像预期的那样运行，如下所示。
3.3 栈
本节将介绍一个重要的编程概念——调用栈 （call stack）。调用栈不仅对编程来说很重要，使用递归时也必须理解这个概念。
假设你去野外烧烤，并为此创建了一个待办事项清单——一叠便条。
本书之前讨论数组和链表时，也有一个待办事项清单。你可将待办事项添加到该清单的任何地方，还可删除任何一个待办事项。一叠便条要简单得多：插入的待办事项放在清单的最前面；读取待办事项时，你只读取最上面的那个，并将其删除。因此这个待办事项清单只有两种操作：压入 （插入）和弹出 （删除并读取）。
下面来看看如何使用这个待办事项清单。
这种数据结构称为栈 。栈是一种简单的数据结构，刚才我们一直在使用它，却没有意识到！
3.3.1 调用栈
计算机在内部使用被称为调用栈 的栈。我们来看看计算机是如何使用调用栈的。下面是一个简单的函数。
def greet(name):
print "hello, " + name + "!"
greet2(name)
print "getting ready to say bye..."
bye()
这个函数问候用户，再调用另外两个函数。这两个函数的代码如下。
def greet2(name):
print "how are you, " + name + "?"
def bye():
print "ok bye!"
下面详细介绍调用函数时发生的情况。
说明
在Python中，
假设你调用greet("maggie")
，计算机将首先为该函数调用分配一块内存。
我们来使用这些内存。变量name
被设置为maggie
，这需要存储到内存中。
每当你调用函数时，计算机都像这样将函数调用涉及的所有变量的值存储到内存中。接下来，你打印hello, maggie!
，再调用greet2("maggie")
。同样，计算机也为这个函数调用分配一块内存。
计算机使用一个栈来表示这些内存块，其中第二个内存块位于第一个内存块上面。你打印how are you, maggie?
，然后从函数调用返回。此时，栈顶的内存块被弹出。
现在，栈顶的内存块是函数greet
的，这意味着你返回到了函数greet
。当你调用函数greet2
时，函数greet
只执行了一部分
。这是本节的一个重要概念：调用另一个函数时，当前函数暂停并处于未完成状态
。该函数的所有变量的值都还在内存中。执行完函数greet2
后，你回到函数greet
，并从离开的地方开始接着往下执行：首先打印getting ready to say bye…
，再调用函数bye
。
在栈顶添加了函数bye
的内存块。然后，你打印ok bye!
，并从这个函数返回。
现在你又回到了函数greet
。由于没有别的事情要做，你就从函数greet
返回。这个栈用于存储多个函数的变量，被称为调用栈
。
练习
3.1 根据下面的调用栈，你可获得哪些信息？
下面来看看递归函数的调用栈。
3.3.2 递归调用栈
递归函数也使用调用栈！来看看递归函数factorial
的调用栈。factorial(5)
写作5!，其定义如下：5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1。同理，factorial(3)
为3 * 2 * 1。下面是计算阶乘的递归函数。
def fact(x):
if x == 1:
return 1
else:
return x * fact(x-1)
下面来详细分析调用fact(3)
时调用栈是如何变化的。别忘了，栈顶的方框指出了当前执行到了什么地方。
注意，每个fact
调用都有自己的x
变量。在一个函数调用中不能访问另一个的x
变量。
栈在递归中扮演着重要角色。在本章开头的示例中，有两种寻找钥匙的方法。下面再次列出了第一种方法。
使用这种方法时，你创建一个待查找的盒子堆，因此你始终知道还有哪些盒子需要查找。
但使用递归方法时，没有盒子堆。
既然没有盒子堆，那算法怎么知道还有哪些盒子需要查找呢？下面是一个例子。
此时，调用栈类似于下面这样。
原来“盒子堆”存储在了栈中！这个栈包含未完成的函数调用，每个函数调用都包含还未检查完的盒子。使用栈很方便，因为你无需自己跟踪盒子堆——栈替你这样做了。
使用栈虽然很方便，但是也要付出代价：存储详尽的信息可能占用大量的内存。每个函数调用都要占用一定的内存，如果栈很高，就意味着计算机存储了大量函数调用的信息。在这种情况下，你有两种选择。
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重新编写代码，转而使用循环。
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使用尾递归 。这是一个高级递归主题，不在本书的讨论范围内。另外，并非所有的语言都支持尾递归。
练习
3.2 假设你编写了一个递归函数，但不小心导致它没完没了地运行。正如你看到的，对于每次函数调用，计算机都将为其在栈中分配内存。递归函数没完没了地运行时，将给栈带来什么影响？
3.4 小结
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递归指的是调用自己的函数。
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每个递归函数都有两个条件：基线条件和递归条件。
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栈有两种操作：压入和弹出。
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所有函数调用都进入调用栈。
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调用栈可能很长，这将占用大量的内存。
