创世纪

布莱克、斯科尔斯和默顿三人是如何得出期权定价的著名等式的?这在坊间有许多版本的说法。布莱克和斯科尔斯做了一个简单的假设,股票价格变动的概率分布是事先已知的。接下来你只需要用股票的市价和市价变动就可以算出期权到期日股价的分布情况。这个设想看似简单,但起到了非常重要的作用。

他们假设价格变动是随机的。这段时间正好是芝加哥学派流行的年代,价格变动遵循著名的正态分布。你现在只需要知道两个因素就可以知道未来期权的价值——价格变动的中位数和标准差。他们假设价格变动的中位数应该等于利率。事实上,股票价格会朝着远期价格移动。你可以忽略中位数。这样期权价值就取决于标准差,也就是股价变动的幅度。

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这个论证过程也可以用另一种方式得出,这就是复制游戏。假设你有一个神奇的方程,你可以用它来计算期权的价格。它能够告诉你股票价格的微小变动会对期权价格产生什么影响。假设股票价格变动1美元,期权价格相应变动25美分。这样交易员就可以对期权设置对冲。他们可以买入1张股票,同时卖出4份看涨期权。设置对冲后,投资组合就不会受到股价变动的影响。如果股价上涨1美元,那么交易员就能赚到1美元;与此同时,股票期权就会损失1美元。最后交易员不赔不赚。这样投资组合就不受风险影响,可以像存款那样赚利息了。

这两种方法殊途同归。布莱克运用数学知识得到了一个微分方程。要计算期权的价值,就得先解决这个微分方程。但他对微分方程式不是很熟悉,因此费了很大的劲才找到问题的答案。有趣的是,这个等式和物理学中著名的“热传导”方程式很类似,只不过热传导方程没有解决。最终,这个等式被解开了。

默顿对解决问题做出了巨大的贡献。他引入了连续时间的概念和数学表达式——随机积分。股票的价格随时都在变化,每时每刻都在被交易。因此,他们能用伊藤引理来解开这个方程(伊藤是个另类的日本数学家,他后来完全忘了如何得出这个引理的)。

布莱克和斯科尔斯在他们发表这篇突破性论文时遇到了不少困难。顶尖的学术期刊拒绝发表的借口多种多样,比如太专业了、与金融相关但和经济学不太相关、版面不够、无法发表收到的每一篇论文。布莱克认为学术期刊拒绝发表他的文章只是因为自己不是学者,他当时在波士顿的一家咨询公司(理特管理咨询公司)当顾问。在他的一生当中,他一直对学术生活抱有怀疑和谨慎的态度。

最后,在一些如默顿·米勒和尤金·法玛等著名学者的帮助下,布莱克-斯科尔斯模型最终在1973年被刊登出来,标题为《期权和公司债定价》。默顿不久也独立发表了一篇《理性期权定价理论》的论文。

下面是布莱克-斯科尔斯期权定价模型的公式:

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其中

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其中,Pce为欧式看涨期权价格;S为资产价格;K为行权价;T为距离到期的时间;Rf为无风险利率;σ为资产回报波动率;N(d1)为正态分布的累积分布函数在d1的值;N(d2)为正态分布的累积分布函数在d2的值;ln为相关数的自然对数值;e为指数(近似2.7182);Ke-Rf.T为当利率为Rf时,为了在到期日取得金额K而需要在T期间内投资的现金值。

欧式看跌期权的价格可以用下面的公式计算:

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尽管这个公式看起来很吓人,但你只要具备了高中数学知识就能够计算出期权的价值。

要不是之后发生了一系列的事件,这些论文估计到现在还无人问津。1973年,芝加哥期权交易所开始买卖一些以大公司股票为标的的期权,很快,布莱克-斯科尔斯公式成了期权定价和交易的市场标准。惠普公司推出预装了布莱克-斯科尔斯期权定价模型的计算器,超级模型[26]的时代终于来到了。

由于他们的杰出成就,斯科尔斯和默顿获得了1997年的诺贝尔经济学奖;而布莱克早在1995年因患咽喉癌去世了,没有得到诺贝尔奖。要想得到诺贝尔奖,除了比学术贡献之外,还要比谁活得长。有人猜测评审委员会曾经犹豫是否将奖项授予给期权定价模型的创建者,因为他们觉得这个模型被广泛地当作赚钱的工具,而且创始者积极参与商业活动。

布莱克认为这个模型阐述了他所钟爱的均衡理论,即风险和收益是相联系的。除此之外,他觉得没有其他的意义。在实务当中,人们认为模型的模拟理论(默顿的观点)更为重要。交易员现在可以通过买卖标的股票来调节期权的风险;这个模型可以买卖股票、赚取差价,同时还能够买卖期权。

布莱克对模拟模型的态度不置可否,他似乎已经预见到了这种模拟操作的后果。

期权定价理论大致在20世纪60年代末70年代初成型。那个时代充满了政治动荡和社会变革——越南战争、水门事件、黑人和女权运动,以及后来的性解放运动。那个时代最显著的标志就是性、毒品和摇滚乐。有趣的是,标准差(波动率)也从此改变了金融界。

布莱克对模拟模型的态度不置可否,他似乎已经预见到了这种模拟操作的后果。

[26]此处的英文为model,为双关语,既可指模型,也可指惠普计算器的型号。——译者注