福音

在之后的几年里,期权定价理论经历了许多发展。布莱克-斯科尔斯-默顿模型被奉为圣经。后人的贡献主要是从不同的角度对其作出阐述。

约翰·考克斯(John Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen Ross)和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)等三位学者建立了二叉树期权定价模型。他们创立这个模型的目的是为了给学生讲解期权定价模型,但不需要学生具备几何布朗运动、积分和伊藤引理等数学基础。他们假想在一个纯粹的世界里,股价在一个固定的时间段中要么涨要么跌,然后算出期权的价格。

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假设现在的股价为100美元,你预计它在1年后会上涨或者下跌10%,也就是说1年后它的价格为110美元或90美元。假设有一项1年期的看涨期权,行权价格为105美元,现在你要为它定价。利率假定为10%。按照对股价上涨和下跌的预计,你可以计算出看涨期权的价格,如图6-1所示。

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图6-1 股票价格和期权价值

使用模拟的方法建立一个无风险的对冲,我们买入股票来对冲看涨期权。所谓无风险,也就是无论股票价格是跌还是涨,投资组合的价值都不会发生变化。比如下面这个无风险投资组合:

● 假设我们卖出一份看涨期权,我们需要买入Δ份股票来对冲风险。

● 投资组合的价值在股票价格变化前后应当保持不变,因此Δ的值可以通过下面的等式求得。

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也就是说要对冲一份看涨期权,你需要持有0.25份的股票。无论股票价格是上涨还是下跌,在期权到期时投资组合的价值为22.5美元。

无风险的投资组合可以取得无风险利率。通过下面的计算,我们可以得到这份期权的公允价值:

● 无风险投资组合的现值,也就是今天的价值

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● 利用交易开始时股票投资组合的已知价格来计算期权的价值(0.25×100=25):

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考克斯、罗斯和鲁宾斯坦的方法可以将成千上万个分叉汇总在一起,最后计算出期权的价格。它的思路除了和布莱克-斯科尔斯-默顿模型一样外,还有其优点。原来模型不能解决的问题,新模型都可以解决。而且那些在到期之前就行权的期权或者有着稀奇古怪的行权条件的期权也能对付。但二叉树模型有个缺点,数据量大而繁杂。解决问题的是电脑。随着电脑的普及,解决更加复杂期权定价问题的能力越来越强。期权定价开始和电脑结合在了一起。

以债权为标的的期权带来了新的挑战。在债权到期之日,债权的价格等于它的面值,也就是说你得到的正是你当初投资的金额。要是公司不倒闭的话,大部分都符合这种情况。这样,债权越临近到期日,它价格的波动性就越小,逐渐接近零。债券的价格还和一系列利率相关,并不像股票那样取决于单一的因素。传统的模型无法解决这些问题,它们只适用于固定的波动率和单一的价格因素。研究人员通过将树形图和债券利率变化情况结合起来,终于找到了答案。

标准期权定价模型并不和市场价格保持一致。当行权价和现价相差很远时,期权定价就采用较高的波动率。研究人员设计了复杂的模型来计算期权的价格,将波动率“曲面”和内置的波动率“微笑曲线”考虑进来了。你应该还记得国民西敏寺银行如何错误地处理了“微笑曲线”,最后损失了上百万英镑。

学术界和投资银行里的数理分析师对期权定价模型的研究达到了前所未有的规模。程序主义的时代来临了。不断进步的电脑技术和要求快速找到复杂产品的需求使得人类可以用电脑运行程序。

数值方法受到了重视。人们使用三叉甚至多叉树模型、有限差分模型以及解决定价问题的终极武器——蒙特卡罗模拟。你还需要做一些微调,让模型符合市场价格。技术取代了分析和论证,复杂的数量技术取代了判断。人们唯一关心的理论是大一统理论,也就是如何设计一个模型,用它可以解释一切现象,而不是像现在这样需要使用不同的模型和变量。

凯恩斯很早之前就指出了这个问题。“最近数理经济学绝大部分内容都华而不实,就像它们所依据的假设那样不精确。作者因此迷失在了浮夸和无用的符号当中,而忽视了现实世界复杂性和事物之间相互作用的关系。”在最终给印度尼西亚人造成毁灭性损失交易当中那些完全无用的公式[27]现在随处可见。

模型经常失效。换句话说,交易商用这些模型遭受了损失。一个新词“模型风险”就产生了。久经战场的交易员不愿让模型取代判断;数量分析师把他们看成是卢德派,现在都靠信仰;交易员变得越来越倾向不可知论或者无神论。交易员和数量分析师之间的自然平衡关系又恢复了,均衡理论最终胜利了。

[27]指那个简化后结果为0的公式。——译者注