绵延不断的海岸   

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计算海岸线的长度

假如你从岛上起飞,比如英国,不久你将会经过海岸线。观察一下那些视野范围之内延伸的海岸。你觉得它有多长呢?现在,用一些我们熟知的物体就可以进行测量,如汽车、房子和工厂,这取决于你所在的高度。大致上,汽车长4米,一栋独立的住宅对角线约10米,一座普通的工厂或是一座大型购物中心的占地直径则在100米至200米之间。 这是一个不错的机会来实践一下之前提到的估测距离法(第61页),将已知物体与处于一臂之远的参照物来比较一下吧。

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沿着海岸线画一条虚拟的直线,测出直线的长度,你大概会用这种方法来估测机窗外海岸线的长度了吧,但是,这个方法真的可行么?如果要深入到每一个小海湾和小海岬,那又会有什么不同呢?这样一来,海岸线的长度将大大增加。

这是一个缩小版的“英国的海岸线到底有多长”的问题。你可以选择相应计量单位计算出英国海岸的最小周长,此时,小于该量规的海湾和海岬就会被忽略而不被计入在内,但是,所采用的量度越精密,海岸线显露出的细节就越多,而海岸线长度也将趋于无穷。理论上来说,至少是在数学上,海岸线可以是无限长的。

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无穷无尽的海岸线

做这个实验,你得准备一支笔和一张纸。如果你的手不能保持稳定,那最好就用一下尺子。画一个大大的圆(你可以沿着盘子边缘画一个完美的圆,不过即使没有盘子,画得不圆,也不要紧)。在圆内画一个等边三角形——等边三角形的三条边长度相等,使三角形的三个顶点尽量接近但不碰到圆的外围。现在,以各边的中间长度为底边向外画出另外一个等边三角形,其边长是前者的1/3。(要画出这样一个图形,你可以将大三角形的边平分成3段,然后,以中间那段为基础画出新的小三角形。)

接下来,以同样的方式在第二层小三角形向外的两条边上画出更小的三角形——它们是以第二层三角形两条边的中部为底的三角形,方向朝外,边长是前者的1/3。重复相同的步骤继续画下去,想画多少就画多少。

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图9 科赫曲线(Koch curve)的雏形

为了达到最明显的效果,你需要以第一个三角形为基础,在其三条边画出向外的第二层三角形,然后再以第二层三角形向外的各边为基础,画出向外的第三层三角形,周而复始。

你所画出的这个图形被称为科赫曲线(Koch curve)。这种图形很有趣,因为它包围着有限的面积——它永远都在圆圈里面——但是,随着三角形的层层增加,科赫曲线的周长却不断变大直至无穷。

英国的周长和科赫曲线类似。第一个三角形的周长小于其外圆形的周长,但是随着褶皱部分的增加,它的长度将趋于无限。

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和发育中树形的溪流江河一样,实验中画出的科赫曲线也是一种分形。观察一下你就会发现,这种曲线的每一个子集都与整体缩小后的形状类似,具有相同的结构。科赫曲线之所以能有无穷大的周长是因为它是一种抽象的数学图形。与科赫曲线相比,英国(或是任何岛屿)的海岸线还是有些不同的。尽管在测量岛屿周长时,随着测量单位变得无穷小,你能计入的迂回弯曲也越来越多,但是这毕竟是一个由原子组成的有形的物体。当最终达到以原子量级的尺度为单位时,测量就无法再进行下去了。因此,英国的海岸线的长度并非真正无穷无尽——不过,它还是能变得很长很长。

也许以上所述最有趣的地方在于我们不能用一个固定的数值来表达距离。我们实在很难说英国海岸线到底有多长。通常,我们总是习惯地认为科学能给我们一个明确的答案,不过就海岸线问题而言,在某一范围内一系列的答案都是正确的,完全取决于你是怎么测量的。海岸线有多长?没有唯一正确的答案。