第八章 疯狂的推算

冰激凌可以冷到一点食物热量都没有吗?

克里斯托弗・尼曼从物理学得到灵感并创作了一套有趣的漫画,这些漫画曾经刊登在《纽约时报》上。我们来详细解读其中的一幅。

广告:个人专属 VPN,独立 IP,流量大,速度快,连接稳定,多机房切换,每月最低仅 5 美元

这幅漫画的大意是,当冰激凌的温度足够低时,你的身体会做两件事。首先它会消化冰激凌从而得到热量。然后身体要把冰激凌加热到人体温度,就得消耗热量。如果得到热量的和消耗的热量相当,那么热量的净变化就为零。很简单吧?尼曼声称,要想达到这样的效果,冰激凌的温度必须低至约-2000℃,不过这是不可能的。下面我来重新计算一下,看看结果如何。

首先,我们需要了解一下温度和热能。什么是温度?你也许会吃惊,不过要给温度下个定义的确没你想的那么容易。温度常常被描述为对某一物体中所有粒子的平均动能的度量。这种描述也没问题,但不是我最喜欢的。我更喜欢把温度看做两个物体在接触了相当长的一段时间后所共同拥有的物理数值。没错,如果把一小块木头和一大块金属放在一起,它们最终会达到同样的温度。

热能又是什么呢?热能是对物体由于温度而拥有能量大小的精确度量。想象一下,有一小块温度为26℃的木头,和一块大得多的温度为12℃的金属。尽管木头的温度更高,但是可能金属拥有的热能更多。一个物体拥有的热能取决于它的温度、质量和材料。能量的多少取决于材料的种类,这种关系叫做比热容。

这种关于热能变化的模型有两个问题。首先,假定比热容在温度大幅变化的时候保持恒定是不合理的。另外,模型并不包括物体进行相变时所需的能量,比如从固态变为液态。我当然可以引入相变储能的概念,不过我想继续假定比热容是恒定的。所以,假设你消耗了质量为m的冰激凌,并从食物中吸收了EF的能量(F代表食物)。要使能量的净变化为零,那么这里的能量要做两件事:加热以及融化冰激凌。

现在我要做的就是求出一个温度的值,使得这一能量等于身体消化冰激凌后得到的能量。就是这样。我只需要估算几个数值。首先,假设冰激凌像水一样,只是多了味道和热量。这意味着比热容可能是一卡路里每克,而潜在的溶化热可能约为八卡路里每克。顺便说一句,我不喜欢用卡路里作为能量的单位。对我来说,这就像是用斯勒格作为质量的单位一样。然而在这个场合下,卡路里就是食物热量的常用单位。可是,一个食物卡路里(大卡,Kcal)等于1000卡路里。不知道这是哪位天才想出来的主意。

现在我们来考虑冰激凌的问题。吃冰激凌能获得多少食物热量?根据某个在线热量计算器列举的数据表明,72g的香草冰激凌包含145Kcal的热量,即1.45×105cal(约合6.07×105J)。利用这个数据,加上一个最终温度37℃,可以得到一个初始温度-1900℃。这么低的温度当然是不可能达到的,因为-273℃是所能达到的最低温度。

接下来要考虑两件事情:首先,这个数值和尼曼所给出的数值有什么关系?其次,怎么才能让这个计算成立。

尼曼给出的冰激凌初始温度为大约是-2000℃。他也许没有考虑到相变,所以如果我剔除相变的因素,得到的数值就差不多是-2000℃。

那怎样让这个计算成立呢?已知人体给冰激凌加温要消耗的能量大小,我只需要使其等于从食物中获取的能量就可以了。将初始温度设为-273℃,那么冰激凌可以获得2.8×104cal,即28Kcal的热量。看一下thecaloriecounter.com上列出的其他种类的冰激凌,即使是最清淡的、无糖的冰激凌,包含的热量也不止28Kcal。看来想让科学帮我们达成这一伟大的愿望,只有再等等了。

多少张纸币叠在一起能从地球叠到月球上去?

我偶尔会瞥一眼电视上的政论节目。有一次,我看的一档节目讨论的是国债和对不同项目的资助问题。一位参与者提出这样一个说法:如果把1兆美元的纸币(我猜是面值一美元的)叠起来,可以在地球和月球之间打4个来回。

我并非不相信电视上的人所说的话,只是我想验证一下,而且这个数值看起来也是能估算出来的。

一张1美元的纸币有多厚?我的钱包里不经常装现金,不过当我装的时候,我就测量一下。一共有5张纸币。我测量了一张纸币的厚度,然后测量了2张的厚度,以此类推。以纸币的张数为自变量,以纸币叠在一起的厚度为因变量,可以画出一条直线,这条直线的斜率为0.1mm/张。这就对一张1美元纸币的厚度做了一个不错的估算。

那么1兆的1美元纸币叠在一起有多厚呢?首先,1兆是多少?很不幸,大家观点并不统一。在美国,1兆等于1000个10亿,也就是1012。而在某些国家,1兆等于10亿个10亿,也就是1018。很容易混淆,我知道。我在这里计算的时候,取1兆等于1012,因为这档节目是在美国播出的嘛。

那么1012张一美元纸币叠在一起有多高?首先我们假设纸币的厚度不会被压缩。为什么要这样假设呢?我不知道,可是总要从某个地方入手吧。这叠纸币的高度就等于1张纸币的厚度乘以1012,也就是108m。

地球到月球的距离大约是4×108m。好的,那么问题就来了。根据我的计算,1012张1美元纸币叠在一起的高度是地月距离的1/4。而节目里说这些纸币叠在一起能在地球和月球之间走4个来回,也就是3.2×109m。

现在我来算算另一个问题。如果1012张1美元纸币叠在一起,真的能在地球和月球之间走4个来回,那1张纸币得有多厚?我只要把地月距离乘以4倍,再除以1012张,得到每张纸币的厚度为3.2mm。

1张纸币有3mm厚,那也太不方便了吧。所以我认为他们关于1012张纸币的说法是不对的。再聪明的人也会犯错。

好,既然他们错了,那么针对1012张叠在一起的纸币,我们还能做些什么呢?我在想究竟能不能把某件物品叠得那么高。

假设可以把纸币完美地叠起来,随着纸币越叠越高,这叠纸币被轻轻一碰就倒掉的可能性也越来越高。请看一张示意图:

阅读 ‧ 电子书库

每叠钱上的那个点代表这叠钱的质量中心。如果这叠钱倾斜到使其质量中心偏出底面边缘,那这叠钱就会倒塌。是的,我假设所有的纸币都粘在一起。不过你会发现,纸币叠得越高,倒塌所需的倾斜角度就越小。

通过计算不同高度的纸币的“翻倒角度”,我发现一叠10m高的纸币只需要倾斜0.37°就会达到倒塌的临界点。如果叠得再高一些呢(你知道也不能再高多少了)?如果把纸币一直叠到104m的高度,会得到下面这张坐标图:

阅读 ‧ 电子书库

要是把纸币叠到106m那么高,翻倒所需的倾斜角度为3.8×10-60°。而一万亿张纸币叠起来的话(假设整叠纸币处在恒定的引力场中,现实中这是不可能的),其倒塌所需的角度仅为3.8×10-80°。这么小的角度相当于在水平方向上移动区区6.6cm。

就算这叠纸币不倒下,有没有可能叠这么高呢?处在底部的纸币能承受住上面所有纸币的重量吗?这就和所谓的“抗压强度”有关。大体上,纸张要保持完好,只能承受那么多的压力。

纸张我不了解,不过木头的抗压强度是3到37MPa。我们随机取20MPa作为一张美元纸币的抗压强度。

这叠钱的底部要承受多大的压强?这等于上面所有东西的重量除以纸币的面积(约为6.6cm×15.6cm)。这说明压强会随着高度线性地增加(假设引力场恒定,尽管这不太真实)。

利用这个压强和纸币密度的估值958kg/m3,1012张1美元纸币叠起来后,底部的压强会达到9.7×105MPa。不过其实应该小于这个值,因为海拔越高,地球引力越小。我认为这一点可以忽略不计。底部的压强远远大于20MPa这个我估计的纸币抗压强度。

好吧,既然把这些纸币叠起来不可行,我就用1012张纸币造一个小行星。已知1张1美元纸币的密度,可算出1012张纸币的质量。干嘛要用现金造出一个庞大的球体?干嘛不呢?你可以把它叫做“钱星”。首先我来算一下质量。如果每张纸币的质量为6.91×10-3kg,那么1012张纸币的质量为6.91×109kg。假设密度恒定,那么这个球的体积为7.2×106m3

如果这个“钱星”是个正球体,那它的半径就是120m。看上去这好像不是一大笔钱,不过这个球体的直径可是长达240m。你可能对这个没有什么概念。我再打个比方,这大概是4艘尼米兹级航空母舰的体积之和。

或许节目里的人应该转述一下桃乐丝·帕克153的话:如果政府把它拥有的所有的钱全叠起来,那景象我看了也不会太吃惊。

把火鸡从空中丢下去,能把火鸡烧熟吗?

最好的问题都是网络上问出来的。比如一个叫做“最后的话”(The Last Word)的网站上有这样一个问题:

“把一只冷冻的火鸡从多高的空中丢下去,火鸡落地的时候能被烧熟?”

好问题都要有几个初始假设,比如:

●火鸡由水组成,开始降落的时候是0℃的冰。

●火鸡是一个球体,半径为15cm(或者就用r表示)。

●当火鸡穿过大气的时候,消耗的能量一半进入火鸡,一半进入大气。

●我会忽略火鸡撞击地面产生的热量,我只想知道火鸡在撞击地面变成碎片之前的一瞬间有没有被烧熟。

●火鸡温度达到82℃的时候就算是烧熟了。

为什么我要从假设入手?因为这是把复杂问题简单化的一种手段。这看起来像是作弊,但其实不是的。比方说,以我的假设为前提,我算出要把火鸡烧熟,得从100m的空中把火鸡扔下去。这表明,对于一只真的火鸡来说,答案可能是50m~200m之间的任何一个数值。但肯定不会是100000米。这样的答案尽管不准确,但还是有用的。没错,这些数字都是我瞎编的。

既然有了假设,那么我来画张图说明一下。这是一只从高海拔的地方扔下去的球形火鸡:

阅读 ‧ 电子书库

这只落下来的火鸡怎么会被烧熟呢?原因就是空气阻力。当火鸡降落的时候,空气会撞击火鸡,产生类似摩擦力的效果。实际上,火鸡的温度上升源自空气撞击,和火鸡下方空气的压缩生热。是的,空气摩擦生热是个复杂的问题。不过可以肯定的一点是,物体穿过空气时一定会升温。就像双手合在一起摩擦会变热,下落的火鸡也一样。

这个温度的增加值要怎么计算呢?当处理物体运动一段距离的问题时,最有用的就是功能原理。该原理表述为,对一个系统所做的功,等于这个系统的能量变化。如果这个系统由地球、火鸡和空气组成,那么就可以考虑下面几种能量:

●动能:来源于物体的运动(主要是运动中的火鸡)。

●热能:随着火鸡的降落,火鸡和空气都会升温。

●重力势能:势能随着地球和火鸡之间距离的缩短而减少。

那么,对这个系统做功的是什么呢?在这个系统中,只有空气阻力对降落中的火鸡做功。在经典模型中,空气阻力的大小取决于空气密度、物体的形状和大小,以及物体的速度。

在行进中的汽车里把手伸出车窗,你就能自己测试一下一些空气阻力的性质。显然,空气会推动你的手。当你的速度变快(v的数值增加),这个推力也会增加。如果你把手握拳,手的形状就变了,横截面积也减小了,你感受到的推力也就变小了。

对于降落中的火鸡来说,随着降落的速度越来越快,空气阻力也会变大。然而,当火鸡降落到某一点时,空气阻力会和地球引力持平。这时火鸡受到的合力为零,降落速度趋于恒定,达到所谓的终极速度。下图表示的就是这只匀速运动中的火鸡:

阅读 ‧ 电子书库

那么这只火鸡降落的终极速度是多少?如果这只火鸡是个正球体,那它受到的引力和质量成正比。如果火鸡的密度均匀,那么质量和其半径的立方成正比。空气阻力和这个球体的横截面积成正比(横截面是圆形)。所以空气阻力和火鸡半径的平方成正比。最终结果就是火鸡的大小起到决定作用,因为大小所产生的效果不会被抵消掉。火鸡越大,终极速度也越大。

不知道为什么,我总是会惊讶于尺寸大小的这种决定性作用。也许我们都倾向于把这个世界看成一张铁路模型的图片。物体变小后,还是原来的物体,仅仅是变小了而已。但事实并非如此,大小真的很重要。

现在我们回到能量的问题上。重力势能是多少?大体上讲,物体所处的位置越高,它拥有的重力势能越大。当物体与地球表面的距离比较近的时候,势能随着高度的增加呈线性增长。如果距离非常远的话,问题就复杂了。保险起见,我会采用复杂情况下的重力势能。

要解决问题,还差一块拼图:热能和温度之间度关系。这两个数值有区别吗?当然。看一下这个常见的例子(我在之前的某一章用过这个例子,主要因为我很爱吃披萨)。假设你想要加热一些吃剩的披萨。如果你把披萨放在铝箔上,然后放进烤箱,最终披萨和铝箔会达到同样的温度(比如65℃)。披萨热好后,你可以很轻松地直接用手拿起铝箔。不过千万别直接用手去拿披萨,你会被烫着的。从根本上说,这两件物体拥有的热能不同。

当丢下火鸡的时候,我们希望火鸡能达到一定的温度(比如80℃)。火鸡越大,达到这一温度所需的热能就越大。

关于热能,还有一点要记住:火鸡和空气的热能都会增加。方便起见,我假设热能一半进入火鸡,一半进入空气。为什么是一半呢?火鸡得到一大半的热能行不行呢?不,一半就好。其实这只是一个近似值,所以一半或是其他任何比例都是合理的。

把上述条件综合起来,再取一只正常大小的火鸡,我算出要把火鸡烧熟,降落的高度应该是142000m。这个答案合适吗?不合适。为什么呢?因为这真的挺高的。可以把这个高度和国际空间站的轨道高度做个比较,国际空间站的轨道高度是300km。

除了高度很荒谬之外,还有什么问题不?首先,你也许会觉得应该考虑到空气密度不均,特别是因为火鸡要从那样一个高度降落。那么又来了,空气密度不均也许并不要紧。如果高海拔的地方空气密度很低,那么火鸡降落达到的终极速度会高得多。然而高海拔的地方空气做功更少,但是火鸡降到低处的时候运动的速度更高,这就弥补了高处空气做功的不足。

那受热不均会是个问题吗?当然。如果你从100km的空中把火鸡丢下去,用不了多长时间火鸡就会掉到地面,基本上不会超过十分钟。如果你想在十分钟内把火鸡烧熟会怎样呢?火鸡外面会烧焦的。

所以下次你家复活节聚会的时候,还是用普通的烤箱来烤火鸡比较明智。这你可得相信我。

你能按比例造出一个死星的乐高模型吗?

里海大学的几位学生对建造一艘死星飞船的成本做了一次了不起的估算154,这给了我一些灵感。

地球上没人能真的造出一艘死星来验证他们的估算是否准确。不过用乐高积木确实能造出另一个版本的死星,尽管可能并不符合比例。里面都塞不下几个长着黄色圆形脑袋的乐高人偶,更不要说出现在电影《星战:一个新希望》中的死星飞船上的全体人员了。乐高的确出过许多《星战》里飞船的等比例模型,包括一款老版的已经不再售卖的千年隼(最好的版本)。不过有可能做得出死星的等比例模型吗?

首先,真实的死星有多大?死星一共有两艘,分别出现在《星战》的第四集和第六集。这两艘死星的大小显然不一样。根据星战百科155的数据,第一艘死星的直径为160km。一个克隆兵人偶的高度是38.6mm,不包括头发、头盔还有顶部用来连接头发和头盔的小装置。假设人的平均身高为1.77m,那么这个人偶和真人的比就是0.022。

所以,第一个版本的死星的等比例乐高模型直径为“真”死星直径的0.022倍。那么这个乐高模型的直径就是3.52km,也就是刚刚超过两英里,这样一个乐高模型真的挺大的。

如果这个版本的死星出一套等比例模型的话,得有多少块积木?这个问题可不好回答。我们要解决的第一个问题是,这艘乐高死星的内部是什么样子的?内部总要有些东西来支撑起外部结构。如果你想要一个等比例的死星模型,你可能希望这里面应有尽有,包括垃圾压缩机什么的。

假设模型内部拥有结构,我需要估算一下它的密度。我们先来看一下千年隼的模型。根据网站brickset.com的数据,千年隼模型包含5195块积木,体积为84cm×56cm×21cm:假设模型的形状是长方形的话,可以用积木的块数除以体积,求得乐高积木的块数密度为52400块/m3

这只是个估计值,不过我已经很满意了。的确,千年隼模型里有一些大块的积木,不过也有一些小块的。我想如果死星模型里包含更多大块积木的话,那它的块数密度会小一些。

利用这个密度,和上文中提到的终极死星模型的体积,可以求得这套模型里积木的数量。要想拼出一个半径为1.76km的球形乐高模型,需要1.2×1015块积木。终极死星模型里可能包含更多大块的积木,所以块数密度会更小。我就取1014作为这套模型中所包含的积木的块数吧。

这个等比例模型的质量是多少呢?这时需要知道的就不是块数密度而是质量密度了。同样地,我可以通过考查另一个模型来估计这个质量密度。千年隼列出的装箱重量是24.2磅。这肯定包括了包装箱和说明书。所以可能积木的净重大约9.5kg。那么模型的质量密度就是96.2kg/m3。快速地查看一下出现在《星战》第6集《绝地反攻》中的死星二号的乐高模型,它的质量密度是85kg/m3。数据并不完整,但是完全够用了。

假设死星模型的质量密度是90kg/m3,那么我的超级无敌乐高死星的质量就是2.1×1012kg。

好的,那么这艘死星的成本是多少呢?我就利用现有的数据来估算。因为我之前是把一套乐高积木的成本作为积木块数的因变量,我知道一套积木的平均成本是每块0.098美元。

这可能有点牵强,不过,如果我假设每套积木的成本价随着积木套装的体积始终呈线性变化,那么这套积木的成本价在1013美元左右(不包括装运的费用)。

还要考虑一点,这个死星的等比例模型要往哪搁呢?放在地球表面可不是个好主意。最难解决的是支撑物的问题。假设我建造一个底座来放这个跨度为0.3km的死星模型。它最宽的地方可能有3.5km,但请记住这是一个球体。这个底座会支撑起模型的全部重量,这会产生240MPa的压强。

我带你简单回顾一下压强的概念。假设你把手放在地板上,一个人不穿鞋子踩在你的手上。这样可能只有一点点疼对吧?现在假设同一个人穿着高跟鞋踩在你的脚上,而且还是用细高跟踩的。想象一下就好了,别真这么干,因为真的挺疼的。所以两种情况有什么区别?施加在你手上的力的大小是一样的,但是作用的面积不同。用细高跟踩的时候,因为力的作用面积很小,所以压强更大。那帕斯卡又是什吗?帕斯卡(Pa)是计量压强的一个单位,1Pa等于1N/m2

那最大抗压强度又是什吗?最大抗压强度指的是一种材料在破裂之前以某种方式所能承受的最大压强。比如你用牙签戳一块石头,石头可能毫发无伤。要是用同样的力去戳一块果冻,果冻就“破裂”了。所以当死星模型给底座施加240MPa的压强时会发生什吗?这个压强超过了大理石的最大抗压强度。大部分材料做这个底座的话都会破裂,要模型底部的乐高积木保持结构完整就更不可能了。

唯一可行的办法是把模型放入环绕地球的轨道,比如距离地球表面300km的近地轨道。300km外的一个直径为3.5km的物体,视直径为0.67°,比月球的视直径大一点点。

这样很棒吧?大家会像汉・索罗那样,把乐高死星错当成月亮。

裹多少气泡垫从六楼跳下去才不会摔死?

要裹着多少气泡垫从六楼跳下去才不会摔死?我大致将高度定为20米。

解决这个问题要从哪里入手呢?首先我们需要一些气泡垫。我们可以测量气泡垫的哪些性质呢?

首先,我可以测量气泡垫的厚度。没错,气泡垫有许多种,不过我就测量我的这种(总得从某处开始着手吧)。我不是只测量一张气泡垫的厚度,而是把若干张叠在一起测出总的厚度,然后画出坐标图。

我每加一张气泡垫就量一下总的高度,然后画了一张坐标图,坐标轴分别是气泡垫的张数和高度。这个线性拟合方程的斜率为每张0.432cm,这样就能很好地估算出一张气泡垫的厚度了。

其次,我需要知道气泡垫有多“弹”。像弹簧一样吗?如果是像弹簧一样,那它有多硬呢?如果是一个真实的弹簧,那我就对其施加重量,看看它会被压缩多少。就这么干。

如果画出图像,那它看起来基本是线性的,收缩的程度和施加的力的大小成正比。所以可以说气泡垫的性质的确很像弹簧。气泡垫像弹簧一样对外物(比如人)施力,我可以为这个力建一个模型。这个力的大小和气泡垫被压缩的程度成正比。

从上面的数据可以得出这个规格的气泡垫的有效弹性常量。那其他规格的呢?假设我把两张气泡垫叠在一起,而不是单独一张,在上面施加一个重量后,每张气泡垫各自的压缩程度和单独一张气泡垫是一样的,因为它们承受的重量相同。但是两张气泡垫叠在一起的话,压缩程度的总和比单独一张气泡垫的大。

一张小的气泡垫和一张大一些的气泡垫相比的话,又有什么不同呢?这就像把两张气泡垫并列拼在一起。当在上面施加重量的时候,它们同时支撑起这个重量,所以各自承受一半的挤压力。所以两张气泡垫拼在一起时的压缩程度会比单独一张的小。

简单地说,面积越大的气泡垫,性质越接近一个更硬的(弹性常量更高的)弹簧。气泡垫叠得越厚,有效弹性常量越小。一种材料拥有的和其实际尺寸无关的硬度属性,叫做杨氏模量。已知我这种气泡垫的规格,可以得到这种气泡垫的杨氏模量为4319N/m3

那么跳落的情况是怎么样的呢?跳落本身不会造成危险,危险的是落地。估计落地安全性的最好方法是考查重力加速度。NASA已经采集过人体所能承受的最大重力加速度的相关数据:

阅读 ‧ 电子书库

从这里可以看出,采用向前加速(眼球向内)的姿势时,普通人体能够承受最大的重力加速度。这种情况下重力加速度会把眼球向头部里面推,这意味着在跳落之后是用背部着地。

这里有个小问题。一位裹着气泡垫的跳落者在与地面撞击的时候,其重力加速度不是恒定的。下图表示的是一个裹着气泡垫的人与地面撞击的过程:

阅读 ‧ 电子书库

所以,这时候人体主要受到两个力的作用:来自气泡垫的力(像弹簧一样)和地球引力。要想使跳落者停下来,重力加速度的方向必须朝上,而气泡垫所施加的力必须大于地球引力。

重力加速度的大小取决于弹性常量以及弹簧被挤压的长度。这两个值我都不知道。不过,我可以利用功能原理来考查整个降落过程。在降落的起点终点,动能都为零。在降落的过程中重力势能会减小,而在撞击的过程中气泡垫的弹性势能会增加。由于没有外力对这个系统做功,我可以建立一个跳落高度和所需的弹性常量(以使重力加速度在可接受范围内)的关系。

要求出k的值,我还需要知道其他一些值。下面是我做的假设:

跳落者加上气泡垫的总质量为70kg。这里我假设气泡垫的质量比跳落者小。

最大重力加速度为300m/s2,撞击过程的持续时间不超过1s。

跳落的高度是20m。

这样的话,要使落地时的重力加速度不超过NASA所给出的人体超重耐力,气泡垫的弹性常量应该为1.7×104N/m。

现在我知道要使跳落者停下来所需的弹性常量,我离知道需要裹多少层气泡垫又近了一步。首先,我需要估算一下地面和气泡垫的接触面积。我知道在撞击过程中,这个面积其实是会变化的,所以我只能估算一下。假设撞击时地面和气泡垫接触的面是一个0.75m见方的正方形,接触面积就是0.56m2

已知气泡垫的杨氏模量,可以算出所需的厚度(我任性地用L来表示)为0.142m。因为每张气泡垫的厚度为0.432cm,所以我一共需要39张。

39张气泡垫也许看起来有点少,我来计算一下气泡垫的质量还有它看起来有多大。我假设气泡垫在跳落者周围裹成一个圆柱体,那它看起来差不多是这样的:

阅读 ‧ 电子书库

从上往下看,这个人看起来大体上是一个半径为0.3m的圆柱体(只是猜测)。如果气泡垫额外地延伸出0.142m,那么气泡垫的体积是多少?哦对了,我还要设这个人的身高为1.6m(也是猜测)。这样气泡垫的体积就是0.53m3

我可以利用气泡垫的厚度和质量的数据算出气泡垫的密度。这么大体积的气泡垫的质量就是9kg——还不赖。不过,严格来说这会改变落地所需的气泡垫的数量。或许为了保险起见,我可以再加几层气泡垫,以抵消气泡垫本身的重量。

既然知道了人裹上气泡垫后的体积,我可以考虑一下降落时的空气阻力。在空气阻力的经典模型中,阻力大小与物体的横截面积以及物体降落速度的平方都成正比。

因为当速度变化时,阻力大小也会随之变化,所以这个问题在纸面上不太容易解决。不过,要是用计算机把这个问题划分成许多短的时间间隔,那么这个问题计算起来就很直观了。

在做这个数值计算的时候,我得到下面两个关于降落物体位置高度和垂直速度的坐标图。

阅读 ‧ 电子书库

上图表明,考虑到空气阻力的话,降落物体在撞击地面之前的速度会稍微低一些(为17.8m/s,而不是大约20m/s)。我可以把全部数据重新算一遍,但是我不会算了。不过你可以把这个较低的速度考虑为安全极限范围(尽管我绝不会认为这种事情是“安全”的)。

再留一道附加题给你当家庭作业怎么样?要从一架飞机上跳下去而不摔死,你得裹多少气泡垫?我猜不会比从楼上跳下去多太多。如果你再加几层气泡垫,就会降低物体降落的终极速度。

不过我们真的要用气泡垫来保证人的安全吗?这显然不是一个好主意。

香蕉真的可以发电吗?

香蕉。你喜欢香蕉。你知道你喜欢香蕉。说真的,这不是你的错。香蕉谁不喜欢呢?就连“香蕉”这个名字叫起来都那么有趣。哦我懂了,你讨厌香蕉的味道。好吧,也许你不喜欢吃香蕉,但你还是喜欢香蕉。香蕉很了不起,原因如下:

香蕉的第一个了不起的地方和物理没有关系。不过,在聚会上或是在操场上的时候和孩子们分享这个事情还是挺有趣的。聊天气很没劲,聊香蕉就有趣多了。这个事情就是,香蕉都是克隆的。

实际上野生的香蕉味道不是很好,吃起来不都是甜的,而且籽还特别大。不过人类时不时会交上好运,碰到变异的香蕉,没有籽,味道还特别好。问题是你没办法种植出更多的这种变异香蕉,因为它们没有籽。为了解决这个问题,人们从一棵现有的变异香蕉树上取出一部分来移栽,于是“嗖”地一下,你就有了更多香蕉树。它们都是克隆出来的变异香蕉树。

不幸的是,香蕉树被克隆出来就意味着所有的香蕉都拥有相同的基因。如果有一个变异性的疾病完全契合了第一棵香蕉树,那就糟糕了,因为所有的香蕉树都会被毁掉。这种事情会发生吗?是的,以前就发生过。你听过一首名叫《对!我们没香蕉了》(Yes!We have No Bananas)的歌吗?猜猜作者为什么写这首歌。

关于克隆香蕉,我就说这么多。这些足以让你能够愉快地聊天了,但是还不够深入,因为我还要说一件彻头彻尾错误的事情。

如果你觉得克隆和变异让香蕉看起来很酷,那你只对了一半。还有更酷的事情。香蕉具有放射性。放心,香蕉你还是但吃无妨。许多东西都有放射性,这不代表它们就达到核废料的级别,但是放射性的确有。香蕉的放射性来自于其中含有的钾元素。

具有放射性是什么意思呢?这表示物质中正在进行某种形式的核反应。在核反应中,某种元素的原子核转化为其他元素。如果新元素的质量不一样(通常都会这样),那么最起码会有能量产生,而且很可能会出现一些其他种类的粒子。

钾元素为什么会有放射性呢?实际上,钾元素有三种类型。所有钾原子的原子核中都有19个质子,正是这一点决定了它是钾元素。但是钾原子的原子核中有多少个中子呢?钾最常见的同位素是钾-39(你会看到它被写做39K,其中39代表原子核中质子和中子的数量之和,K表示它是原子核内拥有19个质子的钾元素)。所以,39K的原子核内有19个质子和20个中子。这种大体上稳定的钾元素构成了香蕉中93%的钾含量。剩下的钾元素中,大部分是41K,它也是稳定的。还剩下极小的一部分(0.012%)是40K,有放射性的就是这种钾元素。

40K的衰变有3种途径,其中最常见的一种叫做β衰变,这种情况下,钾原子产生一个电子,原子核转化成钙原子;第二种常见的衰变是通过获得电子实现的,自由电子与原子核相互作用产生氩原子;最后,还有一小部分属于会产生一个正电子的β衰变,原子核也是转化为氩原子。

说明一下:正电子是电子的反物质形态。没错,就是《星际迷航》里的那种反物质。这表示它的质量和正物质的电子相同,但是拥有的电荷相反。

如果你计算一下(有人已经做过计算156),可以算出正常大小的香蕉平均每75分钟产生一个正电子。

让我来总结一下目前提到的香蕉的特性,它们包括变异、克隆、放射性和反物质。

现在我们换个话题。用香蕉能造出一台核能发动机吗?如果可以,那这台发电机需要多少香蕉才能为我的房子供电呢?首先,核能发电机是如何工作的?基本上核能发电就是利用核反应产生的热量来烧水。水烧开产生的蒸汽再驱动连接到发电机上的涡轮。这和火力发电厂的工作原理完全一样,只不过火力发电厂给水加热烧的是煤。

我来描述一下我这个版本的发电机:我会找来许多香蕉,把它们做成一个大的球体,外面包围着薄薄的一层水。香蕉产生的正电子会和电子发生湮灭并产生热量。这些热量会把水烧开,从而产生蒸汽来驱动涡轮。多么简单,我不懂为什么现在还没出现这些东西。是的,我知道实际情况会更加复杂。假设我的这层水足够厚,就能保证正电子不会逃逸。而且我会忽略其他形式的衰变产生的能量。为什么要忽略其他形式的衰变?因为“香蕉能反物质发电机”听起来很酷。把它叫做靠香蕉腐烂157运行的发电机感觉怪恶心的。

真正的问题来了:我需要多少香蕉?我们先看一下一根香蕉包含的能量。如果一根香蕉每75分钟产生一个正电子,我可以用这个正电子产生的能量除以75分钟来算出一根香蕉的能量。当一个正电子湮灭的时候,能量来自于这个正电子和一个电子的质量之和。然后能量等于mc2,c代表光速。我们从一次湮灭中可以获得1.64×10-13J的能量。这些能量没有多少。如果每75分钟产生这么多能量,那么我们可以获得9.11×10-18W的平均功率。

现在我只要确定需要多少根这种小小的瓦特香蕉能够产生2000W的功率(这差不多就能让我家里的所有电器运转起来)。用2000W除以一根香蕉的功率,可知我们需要2.2×1020根香蕉来为房子供电。

好吧,需要挺多香蕉的。我的香蕉发电机实际会有多大呢?我来估算一下。假设一根香蕉重150g(0.15kg),密度为1g/cm3(1000kg/m3)。这么多香蕉的质量就是0.15kg×香蕉的数量,等于3.3×1019kg。已知香蕉的密度,可算出香蕉的体积为3.3×1016m3。把这些香蕉打碎做成一个球,这个“香蕉球”的半径为2×105m,放到太空中都会清晰可见。

或许这不是个好主意。我怀疑地球上有没有那么多香蕉来造这样一台发电机。也许我用香蕉来喂几只猴子,然后做个猴子能发电机效果会更好一些。

你愿意和一只像马那么大的鸭子打架吗?

网上有这样一道经常被问及的著名问题:

“有一只和马一样大的鸭子,和一百匹和鸭子一样大的马,你更愿意和哪个打架?”

我跟我的孩子说了这个问题,他们愉快地进行了探讨。我的答案是跟马一样大的鸭子。下面我说说物理学是如何帮我做出这个决定的。

首先,跟马一样大的鸭子到底有多大?这个问题就不好回答。什么样的马?什么样的鸭子?鸭子和马是高度一样还是体重一样?鸭子的高度指的是自然直立状态下的,还是脖子伸长以后的?没人知道。

当我想起鸭子的时候,脑中总是浮现出一只常见的绿头鸭。根据维基百科,绿头鸭体长50cm~65cm,体重0.72cm~1.58kg。不过,我不确定这里的“体长”是指什么,是把鸭子伸长了量的,还是正常状态下量的?维基百科还列出了鸭嘴的长度为4.5cm。通过一张鸭子的照片,我得出鸭子的身高为27cm。

好了,那么马的情况如何呢?是的,维基百科上也有关于马的页面。通过查阅网页,我了解到一匹普通的马的肩部高度为1.57m,体重为500kg。

阅读 ‧ 电子书库

如果一只鸭子和一匹马一样大会怎样?如上图所示,我假设这只鸭子和这匹马的头顶距离地面的垂直高度相同。通过这幅图我也对鸭子身体侧面的宽度做了估计。

我为什么需要测量这只跟马一样大的鸭子的水平宽度呢?我需要用某种方式估算一下鸭子的体重。假设一只普通的鸭子就像一个球,一只球形鸭子。这时,我估算出这个球体的半径大概是7cm。已知鸭子的体重为1.2kg(我从给出范围内选了一个数值),可以算出鸭子的密度为835kg/m3

有两点需要说明:这并非鸭子真正的密度,要知道,我用的是整只鸭子的质量和球形身体的体积。另外,即使是用这种方式,算出来鸭子的密度还是小于水的(1000kg/m3)。这意味着鸭子可以浮在水面上。谁都知道鸭子、木头、肉汤还有小石头都可以浮在水面上。

于是我利用这个鸭子的密度可以算出一只跟马一样大的鸭子有多重。鸭子跟马一样大的话,密度还一样吗?我不知道。我没考虑过这个问题。不过,如果你想要这只“马鸭”能浮在水上的话,那它的密度必须小于水的密度。已知一个和马一样大的球形的体积,以及鸭子的密度,可以算出其质量为3000kg。

这是挺大的一只鸭子对吧?为什么鸭子的体重是马的六倍?如果你从正面观察一匹马和一只鸭子你就明白了。比起鸭子,马相对其身高而言要瘦得多看到这里你可能要说,“可别去惹这只大鸭子!”但是请等一下,我说过我宁愿和这只跟马一样大的鸭子打架,是吧?我为什么会这么说呢?我认为这只鸭子没法行动。这么大的一只鸭子显然飞不起来。不过我认为它根本动都动不了。

鸭子能不能飞的起来不要紧。要紧的是鸭子的腿。一只正常大小的鸭子有两条近似于圆柱形的腿。通过观察鸭子的图片,我测出鸭子的一条腿的半径为0.005米。一只普通鸭子两条腿的压缩力有多大?这等于鸭子的体重除以两条腿的横截面积之和。我来考查一下一条腿的情况(比如一只正在走路的鸭子),鸭子必须把全部体重都放到一条腿上。这个压强有150000N/m2

这看起来是挺大的一个压强,其实不然。骨头的抗压强度是它的一千倍。所以,鸭子能走,不过这个我们本来就知道。

如果一只鸭子变得跟马一样大,会发生什么呢?质量会增加,腿的横截面积也会增加。鸭子变得和马一样大的话,体积会增加到原来的6.85倍,腿的大小也是原来的6.85倍。这样一来,跟马一样大的鸭子的压缩力就是8×106N/m2,差不多是一只普通鸭子的一百倍。也不是说这样的压力就一定会压断骨头,可是,开什么玩笑!这样的话想走起路来就太难了。我认为这只鸭子只会坐在那里嘎嘎叫,只不过叫的声音真的会特别大。我尽可以朝它丢几块石头,直到我被宣布为胜方。

不过要是我理解错了题目的意思怎么办呢?如果鸭子不是和马一样高,而是和马一样重,会是什么情况呢?

假设鸭子的质量和马一样是500kg。如果它的密度和普通鸭子一样,再假设它是一个球体,那么这个球体的半径为0.52m,和一只鸵鸟差不多大。这样的话,我还是更愿意和一百匹和鸭子一样大的马打架。我的理解是,最好别惹不会飞的大型鸟类。芝麻街里的大鸟我不敢保证,不过我一直认为他是个和平主义者。