第二章 超级英雄

绿巨人浩克跳起来会砸坏路面吗?

绿巨人浩克30不会飞,但无论是从漫画里还是电影《复仇者联盟》里所见,浩克肯定能跳得很高。当他一跃而起的时候,给地面施加了何种力?在解答这个问题前,让我以绿巨人跳跃这个案例开始,从它的跳跃过程中取3个位置加以分析:

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我没有标明其中的力。在跳跃的过程中,它会受到地心引力以及地表给予它的支持力。对这类问题最好的解决办法是用动能定理(动能定理更适用于物体位置上的变化,而不是时间上的变化)。动能定理的概念是外界对系统做的功等于这个系统动能的变化量。如何定义“功”?简单来说,功是力与其作用点位移的标积(技术上可能比这个要复杂一点,但目前我先简单地定义一下)。能量又是什吗?如果我把绿巨人与地球看成整个系统的话,这个系统具有动能(描述运动物体的能量)和重力势能。

功和能往往以下述方式加以定义:能量就是做功的能力,功是改变能量的东西。没错,这有点循环定义的感觉,为什吗?因为动能定理事实上只不过是我们用来计算的一个参考框架而已,它并不必然是具体化了的东西,只是对于我们所观察的任一系统,动能定理的计算方式是有效的。

回到绿巨人。为了观察重要的跳跃阶段,我们必须倒回去从第1个位置到第2个位置,绿巨人的运动简单而言就是一个竖直抛体运动,因为它的运动完全受到地心引力的支配。除了向上运动并且逐渐放慢速度,不涉及其他动作。当它到达最高点的一瞬间,它的速度为0,这时所有的动能转变为重力势能。通过测量跳跃的高度,我可以计算出维持跳跃到最高点过程中所需要的功(从位置1到位置2),如果已知激发跳跃发生的那段距离(即和地面接触直到离开地面瞬间的那段时间内),我能算出地表对于绿巨人施加的力的大小31

现在为了顺利计算,需要一些估值的帮助。首先,我需要绿巨人的体重。这项估算不太容易。绿巨人在电影里面以很多不同方式出现过,质量估算起来的范围比较大。让我们简单地认为它的密度和正常人类的一样,体积则和《复仇者联盟》里的相仿。

有一幕里面,绿巨人和鹰眼32站在一道。如果鹰眼是一个身高正常的人类(约1.8m高),那么绿巨人的身高有2.5m左右那么高。这只是一个大致的估算,因为绿巨人身体是微屈的,但我还是用这个数据。那么到底绿巨人的体重是多少?很明显,绿巨人不仅比鹰眼高,身体也更加宽厚。假设绿巨人和人类一样是圆柱体,我可以这样把他们这样画出来:

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在图示里,我用圆柱体来代表躯体。一般而言,身高越高,人的横截面就越大。圆柱体的高度和半径有相关性,我以常数a来联系两个量,代表高度与半径之比。绿巨人不是正常人类,他身高更高,体积更为庞大,据此,我粗略地认为代表绿巨人的圆柱体半径与高度之比a2是鹰眼a1的1.25倍。因此如果鹰眼的重量为70kg,那么密度相当的绿巨人的体重则达293kg。

这是个超级体重。在这里,重要的是要记住绿巨人的身高比常人要高40%,并不简单地意味着他的质量就比常人大40%。

对于这些圆柱体,我也有未竟之言。我可以想象有人会这样提出异议:“人可不是什么圆柱体啊!”。这样说当然无可指摘,但以圆柱体模型大致地描述躯体大小这种特殊的做法并非毫无道理。这让我回想起著名的“球形奶牛”33的典故。如果你在物理学家身边待一段时间,一定会有人谈论到“球形奶牛”。到底什么是“球形奶牛”?

对此我可以快速作答。假如我在房间里面,丢出一根铅笔。为什么我要丢铅笔?不要担心,我有时候做事情只凭自己的喜欢,毫无缘由可寻。然而,假设我想为我抛一根铅笔这个动作建立一个模型,我该怎么做?我要考虑下述这些因素:

●是不是应该认为它是一个弹性物体?如果是这样,我丢的时候它就会震动,收缩。

●作为一个半刚性物体,我还是需要考虑它在3个方向上的转动,这个想法应该不算琐碎。

●空气阻力怎么办?

●房间空气的密度会不会有变化?

●房间内的重力场恒定吗?

●大桌子和铅笔之间有没有万有引力?

●铅笔带有电荷吗?会不会和其他物体产生静电作用?或者和地球磁场产生电磁作用?

上述这些问题已经足够让你理解这个问题潜在的复杂性了。但如果我只想得出铅笔在水平距离上的初速度,需要这么麻烦吗?为了得到这个值,我可以把上述的问题抛诸脑后,一概不做理会。这样做不甚精确,但是我却能得到一个确实有价值、有信度的答案。事实上,我要做的就是把这个复杂问题以下列方式简单化:

●质点

●只有和地球才有的万有引力作用,并且引力场大小恒定。

这样一来这个问题就一下变得很好操作了。在物理(科学)领域里,我们试图建立起模型,这种模型未必就一定完美无缺,事实上它们也从来不是完美无缺的,我所需要的无非是一个可以起到作用的模型。如果我假设铅笔只是质点,这个模型就可以助我们解决问题。

再回到之前提到的那个“圆形奶牛”的典故,我不知道这个笑话出自哪里,但我一直记得这个故事:

有一个奶场主有着奶牛和其他一切所需的工具。她想增加牛奶的产量,就问计于她聘请来的3位顾问:一个工程师、一个心理学家、一个物理学家。一周之后,工程师带着自己的报告归来,他说道:“假如你想增加牛奶的产量,必须用更大的泵、更粗的管子,来吸取牛奶”。

不久,心理学家也回来了。他这样向奶场主建议:“你想让奶牛产更多的牛奶,首要的就要设法让它们心情平静、快乐。快乐的奶牛才能产出优质的牛奶。把牛棚漆成绿色,这样奶牛就会觉得置身于草场和愉悦的田野,这样他们就会快乐了”。

最后,姗姗来迟的物理学家也来献计献策了,而她一开口说的却是:“假设这个牛是球形的……”

也许,对于不是物理学家的人来说这明显是一个笑话,不管如何,我还是觉得它对我是很有启发的。

有点儿跑偏了,我们回到对绿巨人浩克的体重讨论中来吧。有一点总是令我颇为费解。布鲁斯·班纳34是个英俊帅气的正常人类,是吧?但是他变成了绿巨人了。如果他从70kg的人变到将近300kg的绿巨人,那部分增加的质量从何而来?难道是像爱因斯坦的质能方程35所说的那样,从能量转化成为质量了?那需要2.7×1019J的能量,这么大的能量从哪里得到?太阳的能量输出总和是4×1026W。然而,只有1.7×1017W最终到达了地球。如果绿巨人能充分使用这些到达地球表面的所有太阳能,它也需要花上2.5分钟才能积累到足够“转变”成质量的所有能量。我想这些时间对于绿巨人而言太长了,弄不好转变之前已经绿巨人已经等不及而“大发雷霆”了。

但是,如果绿巨人的质量没有发生改变呢?在这种情况下,它的质量还是70kg,但是它的密度就不一样了。就密度而言,他只有人体密度的0.24倍。对于人类身体密度的估算最简便的方法是利用水的密度——1000kg/m3,绿巨人的密度只有240kg/m3,这个密度值和瓶塞很接近,不可思议吧。

下一步做什吗?我得估算出绿巨人的跳跃的高度。如果你看过《复仇者联盟》的预告,你就会感觉到布景里用的都是真实建筑的模型。我用google earth不断地搜寻,最终找到了一些我认为可能是影片里绿巨人进行跳跃的真实地点。从地图上来看,根据周遭建筑物的高度,我判断出来绿巨人的跳跃高度可能达到120m。

至此,我们只要把数值代入公式就大功告成了。我计算的结果是4.08×105N。这个力就是浩克在跳跃时施加给地面的强度,也是地面给浩克的支持力。没错,这只是一个平均值。但是这也是一个最小的整体数值。如果我把非常力也纳入考虑,那么跳跃过程中有些力会小于这个值,有些则超过这个值。这个案例中分析的跳跃是最可能发生的,其值也是最小的整体数值。

那么,绿巨人浩克会把水泥地踩破吗?我的目标就是要回答这个问题。我倾向于认为,在跳跃过程中,浩克对于地面的压力足以使得水泥地开裂。我能弄清楚水泥地(不管是什么材料)到底碎了没有吗?我需要了解地面压缩力的大小,因为这是一种材料在破碎前能承受的最大压强值。

有了绿巨人浩克脚尺码的大小的保守估算,我得出压强值是2.9MPa。根据工程工具箱36,水泥地所能承受的压缩力是10MPa。这样算来,绿巨人也许不会压碎马路了,难道不是吗?我怀疑这个力和浩克的移动曲线并不是一个均匀恒定的,是有一个峰值的。

如果峰值超过这个力,就会产生较大的压强,路面便会碎裂,并且我将浩克脚的全部范围都计算在内了,因为万一他是平足跳跃呢?一般人是不会这样跳起的,而是利用他们脚部的跖骨施加力,这样就会减少与地面的接触面,从而加大压强。

综上,我倾向于认为绿巨人浩克无论跳到哪里,哪里的路面就会碎裂,但是马路还不至于被他毁的一塌糊涂。

雷神的锤子真能带他飞吗?

在我十几岁的时候,有人向我介绍了雷神托尔37这个角色。在那个时候,我花了很多时间来看漫画书。我不喜欢表现出对事物的喜乐好恶,但我得说,令我最为着迷的还是漫威漫画公司38的作品,我很少翻看DC漫画公司39的作品。在惊奇宇宙40里,雷神并不是我最喜欢的超级英雄,但我承认他真的很酷,也很有型。

哦?你以前从没有听说过雷神这个名字?你甚至没有看过《复仇者联盟》?好吧,让我带着你快速了解一下。在漫威漫画的那个称为“惊奇宇宙”的空间,雷神是一位北欧神,他被暂时地放逐到地球。也许,他是外星人,我不记得电影是否交代过这方面的背景。关键的一点是他有超能力,随身带着一把名叫Mjölnir的超级锤41。这名字里面的字母是北欧语言里的,很特殊,写起来很费劲,因此这个锤的名字我就不在文章里面赘述了。

关于这把锤子的起源,有一个版本是这样的:奥丁神42命令矮人铁匠用恒星核铸造了这把铁锤。请注意,即使在漫威的惊奇宇宙里,还有很多关于MJölnir起源的故事。但如果我采纳这把铁锤是用恒星核打造的这个版本,那我就可以计算出这把锤子的质量,我接下来要完成的事情就更容易被理解了。

如果你从一颗恒星核心提取一些样本,那这个样本会以一个什么样的面貌呈现出来?会不会是高温灼热态的?答案是肯定的,温度会极其高。密度也会很高吗?我想也是的。行文到这里,我想该是时候谈谈恒星了。

简而言之,一颗恒星也就像一颗行星。说它像一颗行星是因为行星和恒星都是由物质积累起来的。假设在太空里有一个由巨大的氢气构成的云,氢又来自哪里?让我们简单假设此刻氢气就在太空的那个地方。由于所有的氢原子具备质量,彼此之间相互产生万有引力,这种引力作用是很小的,但随着时间的推移,它会导致氢云坍缩。

通常,这团坍缩的气体云可以形成一个太阳系(一颗恒星与数颗行星并行)。但我们只观察恒星。如果这个巨大的氢气团行成了一颗恒星大小的球体,伴随这个过程必然会发什么情况?为什么它不继续缩小?难道有什么会阻止了这个坍缩的过程?我想这其中的原因和海洋为什么不坍缩成为海底薄薄的一层水的道理是如出一辙的。

海洋中的水分子通过与其他下层的水分子的碰撞形成一种斥力而获得一种向上的支撑。海洋中水层所处的位置越深,那里的水分子就越需要与它更深处的水分子产生更多碰撞,这样才能有更强大的斥力支撑所有上层水分子。这意味着水层越深,水压越强。如果情况不如我所言,那么整个海洋的水就会坍缩到一个令人乍舌的高密度,最终在海洋底部形成一片薄层。

本质上,恒星上的情形和上述海洋的是一致的。恒星和海洋之间的巨大差别在于恒星体积上要大得多,并且并不是由水构成的。液态水有一个有趣的特性43使其密度在大的水体中基本为一常量。但如果你取组成恒星的氢气并增加压强,密度是会增加的。一片海洋的深度可以是几英里44。与之相比,一颗较小的恒星,如我们的太阳,半径就可以达到约400000英里。这样大的体积意味内部有超高的压力,可以阻止其由于万有引力而造成的崩坍。同时伴随着这个压力,密度也会达到一个异常高的值。

假设打造MJölnir的材料正是从在我们附近的一颗恒星——太阳中找来的。它的密度约为150g/cm3。那是相当高的。记得一立方厘米的水的重量是1g,铅的质量是11.4g。太阳不仅密度高,温度也非常之高,约为15000000K(灯泡丝约等于3000K)。

如此致密又灼热的东西是一种什么样的材料?它主要是自由的质子和离子氦。在这个温度下,氢原子是不会存在。因为氢原子内部的电子能量太多,太活跃,已经无法在呆在某个特定的原子内部。相反,它们可以自由地在周边活动。对于氦而言也是这样一个情况,有2个质子和2个中子结合在一起,但没有电子。

怎样才能做到把这种材料从恒星核中取出?我不知道。但如果你能把它拿出来,它显然是灼热态的。这样倒是正好,因为此时你可以趁热打铁将它锻造成你所希望的任何形状,也许你想把它做成一把锤子。但也有几个问题:首先,这个原锤会很热,任何东西靠近它便会融化,那样事情就很难办到了。但真正的问题是,当你想把材料冷却的时候,带正电荷的质子与其他带正电荷的质子会出现相斥的现象,因为它们都具有相同的正电荷。当它们还处在太阳的核心时,这些质子并没有真正其他的选择,它们只能被束缚在一起,要知道它们是被400000英里厚的物质挤在核心位置。一旦你把这些物质从核心处取出来,质子和氦原子将纷纷从物质块上跳离。简而言之,这些物质会蒸发。

你不能把氦作为固体物质保留下来,氢也是如此。最终,这块核心材料会融化殆尽。

那我可以拿其他类型的恒星作为星锤的材料吗?在更大质量恒星体中,氢气和氦气可以通过核聚变形成质量更大的元素,甚至可以形成铁原子。铁这个材料就很理想了,它可以在室温的条件下以固体的形式存在。所以这个选择很好。但也有几件事情需要考虑。首先,如果恒星具有较大的质量的话,其内核心也将有较高的密度。密度究竟有多大则取决于恒星的大小。当一颗恒星处在形成铁原子的过程中时,它的核心密度可以高达1×108g/cm3。这是无法想象的。此外,温度将约为20亿开尔文。

当然,当该材料冷却下来(这将需要相当长的时间),它将膨胀。一旦它返回到室温,它应该有铁的密度,地球上的铁每立方厘米大约7.8克。最终,这也只是一把普普通通的铁榔头。

若以正常思维来想,就太无聊了。如果你有一个由恒星核制作完成了的密度高达每立方厘米1亿克的锤子,会发生什么情况?这是一个相当高的质量。假设锤是一个长方形的立方体,具有约15cm×15cm×8cm的尺寸(不包括手柄)。它的体积会达到1800cm3。因为密度是质量与体积之比,质量是密度乘以体积。这样这把锤子的质量为1.8×1011g(在地球的表面上)。如果要把这把锤子捡起来,你可以想象一下,我只好祝你好运了。

如果在地球表面,雷神用力将这把锤子举到离你头顶50cm的位置会怎么样?在这种情况下,将有两个万有引力作用在你身上。地球对你有一个向下的引力(对我来说,这将是约160磅力),同时锤也会对你施加向上的引力,因为它也有一个大质量。而通常情况下,我们会忽略这个引力。

利用万有引力公式,我们可以计算出锤子对你拉了0.33磅的力。并没有让我们觉得高到难以置信。但你仍然可能会对此有所察觉。当然,越接近这把锤子,引力越大。如果在距这把锤子中心3.5cm处的位置放置一块物体,锤子对这块物体引力与地球对这块物体的引力相同。而实际上,锤子的厚度超过3.5cm,你很难做到这一点。

我想这巨大的质量可以解释为什么没有人能抬起它,除了认为真值得那样去做的人以外。

好了,有关锤子的构成问题已经谈论得够多了。还有另外一件有趣的事情,雷神是如何飞行的?在某个地方,我误认为雷神甚至能飞。显然,这是错误的,他并不会飞。相反,雷神抛出他的锤,拉住手柄任由锤拉住他飞行。这是怎么发生的?

让我们从一个简单的模型开始。假设MJölnir和托尔具有相同的尺寸和质量。如果两者彼此靠得很近,那么质心将是在两者的中心位置。现在,如果抛出雷神锤又会如何?要做到这一点,他会在一段时间内对锤子施加力,随之锤子的动量将增加。然而,力总是两个物体之间的相互作用。这就意味着,无论托尔施加在锤上多少力,锤都会在相反的方向施给托尔一个大小一样的力,且作用的时间和托尔施力的时间长短一致。因此,当托尔投掷铁锤,锤的动量增加,托尔的动量则在相反方向增加。

但如果雷神抛出铁锤之后又把它抓住,情况又会如何?本质上会发生和上述情况完全一样的事情。通过抓住锤子,托尔将施加力,锤子也将施加一个力在他身上。所以,通过抛掷这把锤子,他可以让自己的身体移动起来,但当他抓住锤子之后,他又会马上回到原来的位置上,实在称不上是“飞行”。哦,在这种状况下,即便是锤子的质量再大一些也一样无济于事。

一般情况下,我们称这种现象为“动量守恒”。如果一个系统里有两个对象,没有外力,质心的动量是不会改变的。如果一个物体在一个方向上具有动量,另外一个物体则将在相反的方向具有同样大小的动量,这样就会使总动量不变。

然而,还是有办法可以改变的。只有一种方式来可以使总动量改变。答案就是依靠外力。如果雷神垂直向上抛出铁锤,将有一个外力作用在雷神-铁锤组成的系统上:地面。在地面的作用下托尔和铁锤被抛起来了。同样,也可以在水平方向由摩擦力来完成这项动作。所以,铁锤可以在某种意义上帮助托尔在空气中移动,却不能帮助他飞行。但要想在空气中移动,也很困难,需要你用能够让你跳起来一样的强度和大小的力才能做到,而且用的是你的手臂,不是你的腿。

还有一个问题有待解决。在空中如何转向?假设托尔扔出铁锤之后能升到空中,要想改变方向就一定需要某个外力的作用。他可以完成在空中转的唯一方法是扔出这把铁锤,但身体却脱离它。如果他把铁锤往左边丢掷,那么他就会被推向右边,这样动量守恒,他却不得不丢掉铁锤。

你们不同意的声音我已经听到了:“MJölnir也有回到他主人手里的能力”。如此说来,必须有一定的外力作用。我弄不明白这把铁锤是如何做到这点的。我所能做的,就是把已知的物理模型比如力和动量运用到那些虚构的,诸如雷神之锤类的东西。我能做的很有限,但我觉得仍不失为一件妙趣横生的事情。

如何计算美国队长的盾有多重?

让我们来看看《美国队长》45。我得事先说说清楚,我要看的是《美国队长》系列的第二部《美国队长2》的电影版“冬日战士”,而非《美国队长》的漫画版。这两个世界(漫画书和电影)并不总是一致。

在一个场景中,美国队长向冬日战士抛出了他的盾(因为这是美国队长常做的动作)。别急,冬日战士截住抛向他的盾,紧接着把它反扔给了美国队长。整个动作很酷的那部分是,当他抓住时出现了这样一幕。盾的力量十分强大,这让他接住以后身体向后退了一点距离。能不能就此计算出这枚盾的质量?我想是可以的。

这种计算涉及两个部分。在第一部分中,我需要搞明白盾在和美国队长碰撞前的运行速度是多少?这样我才把盾和美国队长之间的碰撞看作正常的物理碰撞来加以处理解决。第二个部分,我需要知道盾和美国队长一起向后退的速度是多少。

由于计算的顺序并不重要,让我们来看看美国队长在碰撞后获得的共同后坐速度。

你如何从视频里测量后坐速度?最简单的方法是使用某种类型的视频分析工具,在视频的每一帧里确定美国队长的位置,从位置和时间数据,可以很容易计算出后坐速度。但是,这种情况下行不通,为什么呢?其原因是,要想视频把数据呈现出来谈何容易。在一个理想的视频里,电影场景将美国队长连同一些物体一同在银幕里展现出来,这些物体可以被用来确定其他物体的体积大小。最重要的是,所有的运动将和摄像机的视场成垂直视角。朝向和远离摄像机的运动会产生一定的问题,因为由于透视的关系,物体的大小会出现变化。遗憾的是,这部影片不能给我们提供一个用于分析的良好视角。

还有什么办法可以断定后坐速度?也可以通过假定美国队长开始滑动时具有一个初速度(后坐速度),然后以恒定的反向加速度不断减速,我可以从摩擦系数计算求得这个加速度。

如果我估计摩擦系数为0.3(砾石在硬表面上就是这个数值),并从视频上得出滑动时间为1.08s的滑动时间,这样得出的后坐速度是3.24m/s。请记住,这是美国队长抓住盾之后和盾的共同速率。

为了得到盾牌的质量我需要做两件事。首先,我需要美国队长的质量。这应该是很容易估测的,因为他只是一个人(是的,一个完美的人)。比方说,他重约100kg,那现在盾的碰撞速度是多少?我将必须从视频里得到这值。

有一张短暂的一幕展示了冬日战士抛出后的盾牌。根据维基百科,盾牌直径为0.76m。我可以使用这个比例尺来给盾牌绘制出位置和时间关系。由此,我得到19.5m/s的盾牌速度。这是一块运行速度相当快的挡箭牌,但我想这对于超级英雄而言不异于小菜一碟。

我如何使用这一切信息得出盾牌的质量?这是关于碰撞和力的特性。当盾与美国队长相互碰撞,盾必将推动他,他也用力推回盾,力的大小是相等的。为什么这些力是一样的?答案很简单,就是力是两个物体之间的相互作用。当你用力推墙,它也用同样大小的力推回你。你和墙壁之间如此,美国队长和盾牌之间也是如此。此外,实际还有一些别的关于碰撞的方面。盾牌向美国队长作用力的时间等于美国队长反推盾牌的时间。

为了把这些想法善加使用,我们首先需要看看动量原则。这是说当一个力作用在一个物体之上会改变该物体的动量。鉴于对美国队长施加的力量和盾牌受到的力大小相同(但方向相反),美国队长的动量变化和盾的动量变化也将是彼此相反的。显然,这样的说法我也可以换一种角度来讲,那就是:碰撞前美国队长和盾牌的动量和碰撞后美国队长和盾牌的动量相同。我们称之为动量守恒(因为它是在前后一样)。

在这个特殊的碰撞里,美国队长和盾牌在碰撞之后合并为一个物体在移动。我们把这称之为非弹性碰撞。这种碰撞是很容易计算的,因为两个物体碰撞之后具有相同的速度。在美国队长和盾碰撞这情况下,计算甚至更为简便。因为,在碰撞之前,仅是盾牌在运动。这意味着碰撞前盾牌的动量等于之后的动量。

现在,我们已经准备好使用我们得到的一些值了。我们已经估计了盾和美国队长碰撞后的速度,而且我们也知道盾和美国队长碰撞后的共同速度。把这些值都放在一起,我就可以把一个未知的量求解出来——盾的质量。

你准备好得到答案了吗?凭借3.24m/s的后坐速度和19.5m/s的盾的速度,得到盾的质量19.9kg(假设美国队长质量是100kg),这是一个相当庞大的43.9磅的盾。与此同时,我们也可以计算这个盾的密度。如果我假定它是一个扁平的圆盘,直径0.76m,约0.5~1.0cm的厚度(只是猜测),密度的范围将是4383~8767kg/m3。这个答案似乎是合理的,因为铁的密度是7800kg/m3,钛的密度是4500kg/m3

它还是一个相当沉重的盾牌。要把这个大块头投出去,需要很扎实的身体素质。和抛出一个棒球或足球相比,把这枚盾牌抛出去是很困难的。我想这就是美国队长是一名超级英雄的原因。

超人可以一拳把人打飞到太空里去吗?

超人如此强大,天底下罕有什么事情他办不到,不是吗?那他能不能大手挥出一拳,把人打飞到太空里去?让我们通过一些估算来回答这个问题吧。

当我说到空间,你很可能会想到“外太空”。但这“外太空”的天到底有多高?包围在地球周围的大气层46并不仅仅停留在某个高度就不存在了,它自上而下由密度不同的气层组成。事实上,高度越高空气的密度就越低,不断上升到后来大气层里的空气就会稀薄到荡然无存。就因为这个道理,我们需要选定一个我们能称之为“太空”的高度。我会挑地球表面以上420km处的位置为“太空”。为什么这个高度?而不是其他数值?因为420km是国际空间站的轨道高度,选这个高度是有理有据的。

一个人若要想直达太空得以多快的速度向着天空直行?我先申明,这就是文章一开始提出的超人挥出拳头痛击一个人之后的情形。当然,如果超人击中一个正常人,这人的躯体大概就难逃厄运了。为了避免这种问题发生,让我们首先假设超人打的是跟自己一模一样的克隆人,这个克隆人我在文章里称为“超人B”。当超人B飞起来的时候,只有两个作用于他身上的力——一个是会随着他高度不断上升而减少,但减少幅度不大的重力;另一个则是大气对超人B的空气阻力。一般的情况下,尤其是取近似值的时候,我们都把空气阻力忽略不计。要知道,也许在先前的一场战斗里,所有的空气早已经从地球被吸尽了,这是未为可知的。

如果我们要考察涉及位置变化的运动(从地球表面到420km高空),那么我们首选动能定理。动能定理告诉我们,对系统所做的功等于该系统能量的变化量。如果我把那个被打了的人(超人B)加上地球看作一个系统,那么系统之外就没有其他力对系统做功了(请记住,这是从超人挥拳之后),该系统的能量的变化量为0。在这种情况下,存在两种形式的能量:动能与重力势能。

我们尚不知道这个被打的人的初速度,但我们知道他的末速度。在运动轨迹的最高点,此人的瞬时速度为0,然后马上坠落下来,这也就意味着最后的动能也为零。那么重力势能的变化呢?对于两个相互作用的物体,重力势能与它们的质心之间的距离成反比,它也取决于两个物体的质量和万有引力常数。已知这些量,我就可以解决一个刚才不知道的量——那个人的初速度。

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把所有已知量代入公式47,那么我可以计算出他一开始的“发射”速度是2778m/s。是的,这个速度已经极快了,但超人B必须比这个速度还要快,为什么呢?有空气阻力,这就是原因。

这是超人B被击中后的受力分析:

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我用一下两个公式来得出重力的大小与空气阻力的大小:

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万有引力公式里包括地球的质量M和超人B的质量m, r是介于超人B和地心之间的距离。万有引力会随着超人B上升的高度而相应减少。

在空气阻力公式里,A是物体的横截面48面积,C是阻力系数,取决于物体的形状。ρ是空气的密度,高度越高,密度将降低。正如你所知,空气阻力会随着速度和海拔高度而变化。事实上,阻力系数C也是取决于速度的,但我会暂且不考虑这个因素而认为这个阻力系数是恒定的。诚如你所见,如果再考虑阻力系数的变化,问题就不简单了。

我来做些估算,假设超人B和常人具有一样的身体尺寸和形态,质量相仿为70kg。假设有个跳伞运动员自由落体,那么阻力模型中AC的乘积就可以根据这位跳伞运动员的最终的速度v算得。如果一个跳伞运动员以54m/s的速度落下来,做匀速直线运动,合外力就为0,那么空气阻力就将等于该跳伞运动员最后的身体的重量。经计算,AC的乘积是0.392m249。在超人B这个案例中我取的是0.05m3的AC值。为什么呢?因为前面的计算考虑到的只是一个跳伞运动员以一般自由落体下落,超人B是以一个头朝天的位置被“发射”,他的横截面积将小得多,0.05的估值可能稍低,但是合理的。

另一个问题是处理空气密度的变化。幸好,我已经了解过高海拔地区的空气阻力问题——红牛斯特拉托斯太空跳伞50开始的位置,空气密度比在地球表面的空气密度要低得多。在跳伞运动速度不断降低的过程中,我用下述曲线函数来表示这个密度变化的过程:

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可见,这个模型对于海拔超高的情况并不适用。所以对这个模型,我使用的有效范围大概在100km,超过这个限值之后空气的密度忽略不计。是的,我知道这种忽略是不精确的,但它仍然可以帮助我们得出想要的结果。对于这项忽略,首先,我要表明超人B的初速度是非常大的,在高海拔忽略空气密度的条件下会使得计算出的初始速度偏小(因为实际上超人同时需要克服空气阻力);此外,当超人B到达到这些高海拔地区后,即便有一些空气,可由于密度很小,运行的速度再快,空气阻力仍然会很小。

现在怎么办?我不能直接计算出所需的初速度。不过我可以随意选择一个初速度,然后创建一个数学模型以确定超人B能到达的高度。然后,通过不断增加初速度,代入公式直到我得到我想要的高度。对于每一个初速度的选择,我会将整个运动过程分解为几个时间段。每一个时间段里,我将按部就班地完成:

●根据高度计算出空气的密度;

●通过高度、空气密度和速度分别计算出地心引力和空气阻力的大小;

●有了这个合力,计算出这段时间动量的变化;

●基于动量计算出这段时间高度的变化51

●重复上述步骤;

这些步骤看似复杂异常,但也不难完成。运用这个公式,我可以算出被击中的超人B以2778m/s的初速度能达到约海拔6500m的高空,但这甚至还没有摸到我们刚才划定好了的420km位置的“外太空”的边呢!

如果我继续增加速度来进行模拟,并结合空气阻力加以计算,那结果又将如何?最终速度如果足够高,是可以到达外太空的。这里我以初始速度为自变量(至105m/s为止),到达的最高海拔为因变量,绘制了一张两者的函数关系图:

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由图可见,即使在105m/s这样的高速,超人B只能到达大约13km的高度。对此,我本人也有点失望。我本来以为超人B应该可以到达一个高于这个海拔的高度。这样算下来,就算让超人在珠穆朗玛峰顶端挥拳痛击,也很难把超人B送入太空。可问题在于有空气阻力,为了抵消空气阻力做的那部分功,你需要给超人B一个更高的初速度。但是,如果初速度变大了,也就意味着空气阻力更大。一旦以一个超级速度启动,那么空气阻力模型也不成立了。

超人真的能把人打入外太空吗?也许可以吧,但那可不是简单的一拳。这事就算让超人来做,也有点儿麻烦。

但是,这一拳之击到底如何?比方说超人用尽全力向超人B挥拳一击,力量之大让超人B被打飞的最初一瞬间的速度到达105m/s,又会怎么样?会发生什么?比方说,一拳正好击中下巴——漂亮的一记曲臂挥拳上击,超人B被击中瞬间的受力分析为:

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在这里,超人B进入太空的速度经过一段距离ΔY从0m/s陡然增加到105m/s。达到这样的效果,超人的打击力需要多大?我将忽略重力(重力效果这种情况下微乎其微),并使用动能定理。如果超人B是我的分析对象,那么只有超人能完成这个动作。为了计算功,需要拿超人拳头的力的大小去乘以位移距离。这个功产生了什么样结果?它改变了超人B的动能(它也改变了重力势能,但相对于动能的变化这个量是非常小的)。

如果我已知最终速度和挥拳的距离,我便可以计算出这一记超级拳力量大小的平均值。目前唯一没有估算的就是这记挥拳作用的力的距离是多大。我的估计是0.75m,这个数值对于这个动作而言是比较宽松、略大的。如此,最终力的平均值为4.67×1011N。

假设超人拳头的接触面积为70cm2(我测量了一下我的拳头的正面,得出这项估算,当然超人的拳头肯定更大一点),超人B的皮肤上会产生多大的压强?

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这是一个很高的压强。一个普通的潜水箱内部有3000psi52的压强,一架钢制坦克的钢壁有0.75英寸厚。我这样说的目的何在?我此刻在想,如果超人可以以这样的强度去击打超人B,那这么一拳足以打穿头颅。我很清楚,这么说肯定让人感到不舒服。

那么超人的脚和地面之间的压强有多大呢?超人对地面的压力大致应该等于他打超人B拳头的力量。当然,他脚的接触面积比他的拳头的接触面积要大,但这个压强仍然是巨大的。我敢肯定拳头打出去的同时超人自己也会陷进地面。

这么大的力作用在超人B上,会有什么样的效果呢?如果超人B的体重为70kg,我就可以计算出他受到打击的过程中加速度的平均值,即力除以质量(对比而言,地心引力太小再次可以忽略不计)。经计算,平均加速度为6.67×109m/s2

假想超人B是由两部分组成:头部质量为7kg,身体其他部分的质量为63kg。超人打的恰好是超人B的头,为什么他身体的其余部分也随之加速呢?当然了,头和身体是连在一起的嘛,超人B的头部通过脖子把整个身体连带拉起来。但为了使身体和头部一样获得加速度,则必须用4.2×1011N的力。

一尼米兹级航空母舰53的重量约9×107kg。如果要产生上述大小的力,你可以把超人B头朝下脚朝上倒挂起来,然后在头部挂上4500艘航母。我无法断定你的头能否承受,但我认为他的头是肯定保不住了(还有,整个世界也拿不出4500艘航母来)。

综上所述,我们明确一点:超人没法送任何人上天。如果他真的使尽浑身力气动手打了某人,那么那个品尝他拳头滋味的人很可能头已不保了(模样也可能更加惨烈)。还有,如果超人打出这样力大无穷一计拳的同时,自己也该陷进地里去了。

也许超人就应该吹一口气,狂风乍起,一下就可以将人吹飞吧。